Provar que, se são distintos, então
onde

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Temos uma função definida como o produto , onde são números distintos. Queremos provar que:
onde
Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompôr uma função racional em uma soma de termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é o produto de termos lineares diferentes, ou seja:
Cada é uma raiz distinta de , ou seja, . Isso é importante porque vai ajudar na nossa decomposição.

Passo 3

Queremos expressar como soma de frações do tipo . Para isso, vamos supor que existe tal decomposição:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 4

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Note que , onde é o produto de todos os termos com :
Substituindo na equação:

Passo 5

Para encontrar , vamos avaliar a equação em . Quando , todos os termos com permanecem, mas o termo correspondente ao -ésimo índice simplifica a equação:
Isolando :

Passo 6

Agora, precisamos relacionar com . Sabemos que:
Portanto, no ponto :
Mas, na verdade, é a derivada de em , ou seja:
Então podemos escrever:

Passo 7

Substituindo de volta na nossa decomposição original:
Isso prova que podemos escrever como a soma das frações dadas, usando os coeficientes .

Resposta

Portanto, mostramos que:
onde

Exercícios relacionados

Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem ;
Seja . Provar que
Newton Provar que para todo o polinômio
satisfaz as condições