Provar que, se
são distintos, então
onde
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Temos uma função
definida como o produto
, onde
são números distintos. Queremos provar que:
onde
Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompôr uma função racional em uma soma de termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é o produto de termos lineares diferentes, ou seja:
Cada
é uma raiz distinta de
, ou seja,
. Isso é importante porque vai ajudar na nossa decomposição.
Passo 3
Queremos expressar
como soma de frações do tipo
. Para isso, vamos supor que existe tal decomposição:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
que tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 4
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Note que
, onde
é o produto de todos os termos
com
:
Substituindo na equação:
Passo 5
Para encontrar
, vamos avaliar a equação em
. Quando
, todos os termos
com
permanecem, mas o termo correspondente ao
-ésimo índice simplifica a equação:
Isolando
:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar
com
. Sabemos que:
Portanto, no ponto
:
Mas, na verdade,
é a derivada de
em
, ou seja:
Então podemos escrever:
Passo 7
Substituindo
de volta na nossa decomposição original:
Isso prova que podemos escrever
como a soma das frações dadas, usando os coeficientes
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
onde
Exercícios relacionados
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem
;
Seja
. Provar que
Newton Provar que para todo
o polinômio
satisfaz as condições