Provar que, se x0, x1, ldots, xn são distintos, então
1omega(x)=sumk=0^n Akx-xk
onde
Ak=1omega(xk), k=0, ldots, n

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Temos uma função omega(x) definida como o produto (x - x0)(x - x1)ldots(x - xn), onde x0, x1, ldots, xn são números distintos. Queremos provar que:
1omega(x) = sumk=0^n Akx - xk
onde
Ak = 1omega(xk), k = 0, 1, ldots, n
Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompôr uma função racional em uma soma de termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função omega(x). Ela é o produto de termos lineares diferentes, ou seja:
omega(x) = (x - x0)(x - x1)ldots(x - xn)
Cada xk é uma raiz distinta de omega(x), ou seja, omega(xk) = 0. Isso é importante porque vai ajudar na nossa decomposição.

Passo 3

Queremos expressar 1omega(x) como soma de frações do tipo Akx - xk. Para isso, vamos supor que existe tal decomposição:
1omega(x) = sumk=0^n Akx - xk
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes Ak que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 4

Para encontrar Ak, multiplicamos ambos os lados da equação por omega(x):
1 = sumk=0^n Ak cdot omega(x)x - xk
Note que omega(x) = (x - xk) cdot omegak(x), onde omegak(x) é o produto de todos os termos (x - xj) com j neq k:
omegak(x) = prodsubstackj=0 j neq k^n (x - xj)
Substituindo na equação:
1 = sumk=0^n Ak cdot omegak(x)

Passo 5

Para encontrar Ak, vamos avaliar a equação em x = xk. Quando x = xk, todos os termos omegaj(xk) com j neq k permanecem, mas o termo correspondente ao k-ésimo índice simplifica a equação:
1 = Ak cdot omegak(xk)
Isolando Ak:
Ak = 1omegak(xk)

Passo 6

Agora, precisamos relacionar omegak(xk) com omega(xk). Sabemos que:
omega(x) = (x - xk) cdot omegak(x)
Portanto, no ponto x = xk:
omega(xk) = (xk - xk) cdot omegak(xk) = 0
Mas, na verdade, omegak(x) é a derivada de omega(x) em xk, ou seja:
omega'(xk) = omegak(xk)
Então podemos escrever:
Ak = 1omega'(xk)

Passo 7

Substituindo Ak de volta na nossa decomposição original:
1omega(x) = sumk=0^n 1omega'(xk) cdot 1x - xk
Isso prova que podemos escrever 1omega(x) como a soma das frações dadas, usando os coeficientes Ak = 1omega'(xk).

Resposta

Portanto, mostramos que:
1omega(x) = sumk=0^n Akx - xk
onde
Ak = 1omega'(xk), k = 0, 1, ldots, n

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