Construir os polinômios interpoladores que satisfazem
; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é construir os polinômios interpoladores que passam pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Isso envolve um pouco de álgebra e teoria dos polinômios, mas vou explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos usar a fórmula de interpolação de Lagrange. Essa técnica ajuda a encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios básicos chamados de polinômios de base de Lagrange que valem 1 em um ponto e 0 nos outros.
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos: temos três pontos
,
e
. O polinômio de Lagrange de grau 2 (já que temos três pontos) será:
onde
são os polinômios de base.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada
:
Para
, que corresponde a
:
Para
, que corresponde a
:
Para
, que corresponde a
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores dos
correspondentes a cada ponto:
Substituindo os
:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
Combine tudo:
Passo 7
Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Somando todos:
Então:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 8
Então, o polinômio interpolador de Lagrange é:
Agora, vamos fazer a mesma coisa usando a fórmula de Gregory-Newton.
Passo 9
A interpolação de Gregory-Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio. Vamos organizar os dados em uma tabela de diferenças divididas.
Temos os pontos ordenados de
:
,
,
, com os respectivos
:
,
,
.
Passo 10
Montamos a tabela de diferenças:
Passo 11
Agora, usamos essas diferenças para construir o polinômio de Gregory-Newton:
Substituindo os valores:
Passo 12
Vamos simplificar esse polinômio:
Primeiro, distribua os termos:
Passo 13
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Combine tudo:
Resposta
Tanto pela fórmula de interpolação de Lagrange quanto pela de Gregory-Newton, o polinômio interpolador que satisfaz
,
e
é:
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Construir os polinômios interpoladores que satisfazem
; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Considere
e
e operações em ponto flutuante numa mantissa com 4 dígitos (os números são sempre arredondados e normalizados após cada operação). Mostre que:
b)
b)
Construir os polinômios interpoladores que satisfazem
; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Construir os polinômios interpoladores que satisfazem
, usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.