Construir os polinômios interpoladores que satisfazem p(-1)=1, p(4)=3, p(2)=3; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é construir os polinômios interpoladores que passam pelos pontos , e . Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Isso envolve um pouco de álgebra e teoria dos polinômios, mas vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula de interpolação de Lagrange. Essa técnica ajuda a encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios básicos chamados de polinômios de base de Lagrange que valem 1 em um ponto e 0 nos outros.

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos: temos três pontos p(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) , e . O polinômio de Lagrange de grau 2 (já que temos três pontos) será:
onde são os polinômios de base.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 4)(x - 2)(-1 - 4)(-1 - 2) = (x - 4)(x - 2)(-5)(-3) = (x - 4)(x - 2)15 :
Para L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x + 1)(x - 2)(4 + 1)(4 - 2) = (x + 1)(x - 2)5 cdot 2 = (x + 1)(x - 2)10 , que corresponde a L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x + 1)(x - 4)(2 + 1)(2 - 4) = (x + 1)(x - 4)3 cdot (-2) = (x + 1)(x - 4)-6 :
Para , que corresponde a :
Para , que corresponde a :

Passo 5

Agora, substituímos os valores dos p(x) = 1 cdot L0(x) + 3 cdot L1(x) + 3 cdot L2(x) correspondentes a cada ponto:
p(x) = 1 cdot (x - 4)(x - 2)15 + 3 cdot (x + 1)(x - 2)10 + 3 cdot (x + 1)(x - 4)-6
Substituindo os :

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
p(x) = (x - 4)(x - 2)15 + 3(x + 1)(x - 2)10 - 3(x + 1)(x - 4)6
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
p(x) = 2(x - 4)(x - 2)30 + 9(x + 1)(x - 2)30 - 15(x + 1)(x - 4)30
Combine tudo:
p(x) = 2(x^2 - 6x + 8) + 9(x^2 - x - 2) - 15(x^2 - 3x - 4)30

Passo 7

Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
2(x^2 - 6x + 8) = 2x^2 - 12x + 16
9(x^2 - x - 2) = 9x^2 - 9x - 18
-15(x^2 - 3x - 4) = -15x^2 + 45x + 60
Somando todos:
(2x^2 - 12x + 16) + (9x^2 - 9x - 18) + (-15x^2 + 45x + 60) = (-4x^2 + 24x + 58)
Então:
p(x) = -4x^2 + 24x + 5830
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
p(x) = -2x^2 + 12x + 2915

Passo 8

Então, o polinômio interpolador de Lagrange é:
p(x) = -2x^2 + 12x + 2915
Agora, vamos fazer a mesma coisa usando a fórmula de Gregory-Newton.

Passo 9

A interpolação de Gregory-Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio. Vamos organizar os dados em uma tabela de diferenças divididas.
Temos os pontos ordenados de : , , , com os respectivos : , , .

Passo 10

Montamos a tabela de diferenças:
c|c|c|c x & f[x] & f[x0,x1] & f[x0,x1,x2] hline -1 & 1 & & 2 & 3 & 3 - 12 - (-1) = 23 & 4 & 3 & 3 - 34 - 2 = 0 & 0 - 234 - (-1) = -235 = -215

Passo 11

Agora, usamos essas diferenças para construir o polinômio de Gregory-Newton:
Substituindo os valores:
p(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2(x - x0)(x - x1)

Passo 12

Vamos simplificar esse polinômio:
Primeiro, distribua os termos:
p(x) = 1 + 23(x + 1) - 215(x^2 - x - 2)
p(x) = 1 + 2x + 23 - 2x^2 - 2x - 415

Passo 13

Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
p(x) = 1515 + 10x + 1015 - 2x^2 - 2x - 415
Combine tudo:
p(x) = 15 + 10x + 10 - 2x^2 + 2x + 415 = -2x^2 + 12x + 2915

Resposta

Tanto pela fórmula de interpolação de Lagrange quanto pela de Gregory-Newton, o polinômio interpolador que satisfaz p(x) = -2x^2 + 12x + 2915 , e é:

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