Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é construir os polinômios interpoladores que passam pelos pontos , e . Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Isso envolve um pouco de álgebra e teoria dos polinômios, mas vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula de interpolação de Lagrange. Essa técnica ajuda a encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios básicos chamados de polinômios de base de Lagrange que valem 1 em um ponto e 0 nos outros.

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos: temos três pontos , e . O polinômio de Lagrange de grau 2 (já que temos três pontos) será:
onde são os polinômios de base.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada :
Para , que corresponde a :
Para , que corresponde a :
Para , que corresponde a :

Passo 5

Agora, substituímos os valores dos correspondentes a cada ponto:
Substituindo os :

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
Combine tudo:

Passo 7

Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Somando todos:
Então:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 8

Então, o polinômio interpolador de Lagrange é:
Agora, vamos fazer a mesma coisa usando a fórmula de Gregory-Newton.

Passo 9

A interpolação de Gregory-Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio. Vamos organizar os dados em uma tabela de diferenças divididas.
Temos os pontos ordenados de : , , , com os respectivos : , , .

Passo 10

Montamos a tabela de diferenças:

Passo 11

Agora, usamos essas diferenças para construir o polinômio de Gregory-Newton:
Substituindo os valores:

Passo 12

Vamos simplificar esse polinômio:
Primeiro, distribua os termos:

Passo 13

Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Combine tudo:

Resposta

Tanto pela fórmula de interpolação de Lagrange quanto pela de Gregory-Newton, o polinômio interpolador que satisfaz , e é:

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Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Considere e e operações em ponto flutuante numa mantissa com 4 dígitos (os números são sempre arredondados e normalizados após cada operação). Mostre que:
b)
Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Construir os polinômios interpoladores que satisfazem , usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.