Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir os polinômios interpoladores que passam pelos pontos , e . Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Vamos precisar entender um pouco sobre polinômios interpoladores e como essas fórmulas funcionam para encontrar o polinômio que melhor se ajusta a esses pontos.
Passo 2
Vamos começar com a fórmula de interpolação de Lagrange. Essa técnica nos permite construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios básicos chamados de polinômios de base de Lagrange (), que são projetados para ser 1 em um ponto específico e 0 nos outros.
A fórmula geral de Lagrange para pontos é:
Onde cada é definido por:
No nosso caso, temos 3 pontos ():
Passo 3
Vamos calcular cada :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos montar o polinômio usando os e os :
Substituindo os valores:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, multiplique os termos:
Simplificando os coeficientes:
Agora, igualando os denominadores:
Subtraindo as frações:
Passo 6
Então, o polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange é:
Agora, vamos verificar isso usando o método de Gregory-Newton.
Passo 7
No método de Gregory-Newton, usamos diferenças divididas para construir o polinômio. Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de :
Passo 8
Calculamos as diferenças divididas:
Primeira diferença dividida ():
Segunda diferença dividida ():
Passo 9
Com as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 10
Vamos expandir e simplificar:
Observamos que os termos e se cancelam:
Resposta
O polinômio interpolador que satisfaz , e é:
Esse polinômio foi obtido tanto pela fórmula de Lagrange quanto pelo método de Gregory-Newton, e ambos os métodos confirmam que é a solução correta.