Construir os polinômios interpoladores que satisfazem p(-2)=1, p(0)=2, p(2)=1; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir os polinômios interpoladores que passam pelos pontos , e . Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Vamos precisar entender um pouco sobre polinômios interpoladores e como essas fórmulas funcionam para encontrar o polinômio que melhor se ajusta a esses pontos.

Passo 2

Vamos começar com a fórmula de interpolação de Lagrange. Essa técnica nos permite construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios básicos chamados de polinômios de base de Lagrange ( p(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x) ), que são projetados para ser 1 em um ponto específico e 0 nos outros.
A fórmula geral de Lagrange para Li(x) = prodsubstackj=0 j ne i^n x - xjxi - xj pontos é:
(x0, y0) = (-2, 1) (x1, y1) = (0, 2) (x2, y2) = (2, 1)
Onde cada é definido por:
No nosso caso, temos 3 pontos ( ):

Passo 3

Vamos calcular cada L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 0)(x - 2)(-2 - 0)(-2 - 2) = x(x - 2)(-2)(-4) = x(x - 2)8 :
  1. Para L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x + 2)(x - 2)(0 + 2)(0 - 2) = (x + 2)(x - 2)2 cdot (-2) = (x + 2)(x - 2)-4 = -(x + 2)(x - 2)4 :
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x + 2)(x - 0)(2 + 2)(2 - 0) = (x + 2)x4 cdot 2 = (x + 2)x8
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos montar o polinômio p(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) usando os p(x) = 1 cdot x(x - 2)8 + 2 cdot (-(x + 2)(x - 2)4) + 1 cdot (x + 2)x8 e os :
Substituindo os valores:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, multiplique os termos:
p(x) = x(x - 2)8 - 2(x + 2)(x - 2)4 + (x + 2)x8
Simplificando os coeficientes:
p(x) = x^2 - 2x8 - 2(x^2 - 4)4 + x^2 + 2x8
p(x) = x^2 - 2x8 - 2x^2 - 84 + x^2 + 2x8
Agora, igualando os denominadores:
p(x) = x^2 - 2x + x^2 + 2x8 - 2x^2 - 84
p(x) = 2x^28 - 2x^2 - 84
p(x) = x^24 - 2x^2 - 84
Subtraindo as frações:
p(x) = x^2 - (2x^2 - 8)4 = x^2 - 2x^2 + 84 = -x^2 + 84 = -x^24 + 2

Passo 6

Então, o polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange é:
p(x) = -14x^2 + 2
Agora, vamos verificar isso usando o método de Gregory-Newton.

Passo 7

No método de Gregory-Newton, usamos diferenças divididas para construir o polinômio. Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de c|c x & y=p(x) hline -2 & 1 0 & 2 2 & 1 :

Passo 8

Calculamos as diferenças divididas:
  1. Primeira diferença dividida ( f[-2, 0] = 2 - 10 - (-2) = 12 f[0, 2] = 1 - 22 - 0 = -12 ):
f[-2, 0, 2] = f[0,2] - f[-2,0]2 - (-2) = -12 - 124 = -14 = -14
  1. Segunda diferença dividida ( ):

Passo 9

Com as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de Newton:
p(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores:
p(x) = 1 + 12(x - (-2)) + (-14)(x - (-2))(x - 0)
Simplificando:
p(x) = 1 + 12(x + 2) - 14(x + 2)x

Passo 10

Vamos expandir e simplificar:
p(x) = 1 + x2 + 1 - 14x(x + 2)
p(x) = 2 + x2 - 14(x^2 + 2x)
p(x) = 2 + x2 - x^24 - 2x4
p(x) = 2 + x2 - x^24 - x2
Observamos que os termos p(x) = 2 - x^24 e se cancelam:

Resposta

O polinômio interpolador que satisfaz p(x) = -14x^2 + 2 , e é:
Esse polinômio foi obtido tanto pela fórmula de Lagrange quanto pelo método de Gregory-Newton, e ambos os métodos confirmam que é a solução correta.

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