Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir os polinômios interpoladores que passam pelos pontos , e . Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Vamos precisar entender um pouco sobre polinômios interpoladores e como essas fórmulas funcionam para encontrar o polinômio que melhor se ajusta a esses pontos.

Passo 2

Vamos começar com a fórmula de interpolação de Lagrange. Essa técnica nos permite construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios básicos chamados de polinômios de base de Lagrange ( ), que são projetados para ser 1 em um ponto específico e 0 nos outros.
A fórmula geral de Lagrange para pontos é:
Onde cada é definido por:
No nosso caso, temos 3 pontos ( ):

Passo 3

Vamos calcular cada :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos montar o polinômio usando os e os :
Substituindo os valores:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, multiplique os termos:
Simplificando os coeficientes:
Agora, igualando os denominadores:
Subtraindo as frações:

Passo 6

Então, o polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange é:
Agora, vamos verificar isso usando o método de Gregory-Newton.

Passo 7

No método de Gregory-Newton, usamos diferenças divididas para construir o polinômio. Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de :

Passo 8

Calculamos as diferenças divididas:
  1. Primeira diferença dividida ( ):
  1. Segunda diferença dividida ( ):

Passo 9

Com as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 10

Vamos expandir e simplificar:
Observamos que os termos e se cancelam:

Resposta

O polinômio interpolador que satisfaz , e é:
Esse polinômio foi obtido tanto pela fórmula de Lagrange quanto pelo método de Gregory-Newton, e ambos os métodos confirmam que é a solução correta.

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Considere e e operações em ponto flutuante numa mantissa com 4 dígitos (os números são sempre arredondados e normalizados após cada operação). Mostre que:
b)
Seja o número
d) Calcule o erro absoluto e o erro relativo .
Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.