Para a seguinte função tabelada:
x f(x)
-2 29
-1 30
0 31
1 62
Construa a tabela de diferenças divididas e, usando a fórmula de Newton do polinômio de interpolação, calcule f(1).

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por uma tabela com alguns valores de e . O conteúdo aqui é de Interpolação Polinomial, mais especificamente usando a Fórmula de Newton das Diferenças Divididas. Vamos precisar construir uma tabela de diferenças divididas para achar o polinômio que passa por esses pontos e depois usar esse polinômio para calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os valores que temos:
|c|c| hline x & f(x) hline -2 & 29 -1 & 30 0 & 31 1 & 62 hline

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. A primeira coluna já está preenchida com os valores de f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi e . Na segunda coluna, calculamos a primeira diferença dividida:

Passo 4

Calculando as primeiras diferenças divididas:
f[-2,-1] = 30 - 29-1 - (-2) = 11 = 1
f[-1,0] = 31 - 300 - (-1) = 11 = 1
f[0,1] = 62 - 311 - 0 = 311 = 31

Passo 5

Agora, calculamos as segundas diferenças divididas usando as primeiras diferenças:
f[-2,-1,0] = f[-1,0] - f[-2,-1]0 - (-2) = 1 - 12 = 0
f[-1,0,1] = f[0,1] - f[-1,0]1 - (-1) = 31 - 12 = 15

Passo 6

Por fim, calculamos a terceira diferença dividida:
f[-2,-1,0,1] = f[-1,0,1] - f[-2,-1,0]1 - (-2) = 15 - 03 = 5

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos escrever o polinômio de interpolação de Newton:
P(x) = f(x0) + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + f[x0,x1,x2,x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores:
P(x) = 29 + 1(x + 2) + 0(x + 2)(x + 1) + 5(x + 2)(x + 1)(x)

Resposta

Após simplificar, o polinômio de interpolação é:
P(x) = 29 + (x + 2) + 5(x + 2)(x + 1)x
Calculando f(1) = 29 + (1 + 2) + 5(1 + 2)(1 + 1)(1) = 29 + 3 + 5(3)(2)(1) = 29 + 3 + 30 = 62 :
Portanto, .

Exercícios relacionados