Na realização de uma experiência, determinaram-se os seguintes valores da capacidade térmica C a várias temperaturas T, de um metal:
T -50 -20 10 70 100 120
consumo 0.125 0.128 0.134 0.144 0.150 0.155
Calcule um modelo linear que estime C em função de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com temperaturas e os respectivos consumos de capacidade térmica de um metal. O objetivo aqui é encontrar uma relaçãolinear que estima com base em . Basicamente, queremos achar uma equação do tipo , onde é a inclinação da linha e é o intercepto. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha que se ajusta aos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados e calcular as médias das temperaturas ( barT = (-50) + (-20) + 10 + 70 + 100 + 1206 = 2306 approx 38.33 ) e dos consumos ( barC = 0.125 + 0.128 + 0.134 + 0.144 + 0.150 + 0.1556 = 0.8366 approx 0.1393 ). Isso é importante porque vamos precisar dessas médias para calcular a inclinação e o intercepto da nossa linha.

Passo 3

Agora, vamos calcular a covariância entre Cov(T, C) = sum (Ti - barT)(Ci - barC)n e Var(T) = sum (Ti - barT)^2n e a variância de |c|c|c|c|c| hline Ti & Ci & Ti - barT & Ci - barC & (Ti - barT)(Ci - barC) hline -50 & 0.125 & -88.33 & -0.0143 & 1.264 -20 & 0.128 & -58.33 & -0.0113 & 0.658 10 & 0.134 & -28.33 & -0.0053 & 0.150 70 & 0.144 & 31.67 & 0.0047 & 0.149 100 & 0.150 & 61.67 & 0.0107 & 0.660 120 & 0.155 & 81.67 & 0.0157 & 1.283 hline . A covariância nos ajuda a ver como sum (Ti - barT)(Ci - barC) approx 1.264 + 0.658 + 0.150 + 0.149 + 0.660 + 1.283 = 4.214 e Cov(T, C) = 4.2146 approx 0.7023 variam juntos, enquanto a variância de sum (Ti - barT)^2 approx (-88.33)^2 + (-58.33)^2 + (-28.33)^2 + (31.67)^2 + (61.67)^2 + (81.67)^2 mostra o quanto approx 7800 + 3403 + 802 + 1003 + 3804 + 6671 = 24383 varia sozinho.
Var(T) = 243836 approx 4063.83
Vamos calcular cada termo:
Somando os produtos:
Agora, para a variância de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação a = Cov(T, C)Var(T) = 0.70234063.83 approx 0.0001727 da nossa linha usando a fórmula:

Passo 5

Com a inclinação b = barC - a barT conhecida, podemos encontrar o intercepto b = 0.1393 - (0.0001727 times 38.33) approx 0.1393 - 0.0066 approx 0.1327 usando as médias que calculamos no Passo 2. A fórmula para é:
Substituindo os valores:

Resposta

O modelo linear que estima a capacidade térmica C = 0.0001727 , T + 0.1327 em função da temperatura é:

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