Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas.

Passo 1

Então, a gente tem um problema que envolve a contagem de partículas emitidas por um material radioativo. A gente vai trabalhar com Distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Aqui, o parâmetro da Poisson é igual a 3, o que significa que, em média, o material emite 3 partículas por segundo. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a Distribuição de Poisson funciona. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a média de eventos no intervalo considerado.
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 3

Como queremos a probabilidade de no mínimo duas partículas em dois segundos, primeiro precisamos ajustar o parâmetro lambda = 3 times 2 = 6 para o novo intervalo de tempo. Se a média é 3 partículas por segundo, em dois segundos a média será:

Passo 4

A probabilidade de ocorrer no mínimo duas partículas é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer menos de duas partículas (ou seja, 0 ou 1 partícula). Então, vamos calcular P(0; 6) = 6^0 cdot e^-60! = 1 cdot e^-61 = e^-6 e P(1; 6) = 6^1 cdot e^-61! = 6 cdot e^-61 = 6e^-6 :
P(menos de 2 partículas) = P(0; 6) + P(1; 6) = e^-6 + 6e^-6 = 7e^-6
P(no mínimo 2 partículas) = 1 - P(menos de 2 partículas) = 1 - 7e^-6
Agora, somamos essas duas probabilidades:
í
Finalmente, a probabilidade de no mínimo duas partículas é:
ííí

Resposta

A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas é aproximadamente 0,9502 ou 95,02%.

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