Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas.
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas.
Passo 1
Então, a gente tem um problema que envolve a contagem de partículas emitidas por um material radioativo. A gente vai trabalhar com Distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Aqui, o parâmetro da Poisson é igual a 3, o que significa que, em média, o material emite 3 partículas por segundo. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a Distribuição de Poisson funciona. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos. -
é a média de eventos no intervalo considerado. -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828). -
é o fatorial de .
Passo 3
Como queremos a probabilidade de no mínimo duas partículas em dois segundos, primeiro precisamos ajustar o parâmetro
para o novo intervalo de tempo. Se a média é 3 partículas por segundo, em dois segundos a média será:
Passo 4
A probabilidade de ocorrer no mínimo duas partículas é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer menos de duas partículas (ou seja, 0 ou 1 partícula). Então, vamos calcular
e
:
Agora, somamos essas duas probabilidades:
Finalmente, a probabilidade de no mínimo duas partículas é:
Resposta
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas é aproximadamente 0,9502 ou 95,02%.