Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma correta) para cada uma de 10 questões.
Qual a probabilidade de que o estudante obtenha no máximo 4 respostas certas?
Qual a probabilidade de que o estudante obtenha no máximo 4 respostas certas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exame de múltipla escolha com 10 questões, onde cada questão tem 5 opções e apenas uma está correta. Queremos descobrir qual a probabilidade de você acertar no máximo 4 dessas 10 questões. Para resolver isso, vamos usar o Cálculo de Probabilidades e mais especificamente o Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois possíveis resultados (acerto ou erro).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante. A fórmula é:
Onde:
-
é a coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas. -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa. -
é a probabilidade de falha.
Passo 3
No nosso caso:
- n = 10 (número de questões)
- k varia de 0 a 4 (já que queremos no máximo 4 acertos)
- p = 1/5 = 0,2 (probabilidade de acertar uma questão)
- 1-p = 4/5 = 0,8 (probabilidade de errar uma questão)
Passo 4
Precisamos calcular a probabilidade de acertar 0, 1, 2, 3 ou 4 questões e somar todas essas probabilidades. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora,
:
Passo 7
Em seguida,
:
Passo 8
Agora,
:
Passo 9
E por último,
:
Passo 10
Agora, somamos todas essas probabilidades para achar a probabilidade de acertar no máximo 4 questões:
Resposta
A probabilidade de que o estudante obtenha no máximo 4 respostas certas é aproximadamente 96,72%.
Exercícios relacionados
Suponha que é conhecido que o número de itens produzidos por semana em uma fábrica é uma variável aleatória com média 60 (em unidades).
Se a variância da produção semanal é conhecida e igual a 25 , então, o que pode-se afirmar sobre a probabilidade da produção semanal estar (exclusive) entre 50 e 70 unidades?
Se a variância da produção semanal é conhecida e igual a 25 , então, o que pode-se afirmar sobre a probabilidade da produção semanal estar (exclusive) entre 50 e 70 unidades?
Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma correta) para cada uma de 10 questões.
Qual é o número médio de questões respondidas corretamente? E a variância?
Qual é o número médio de questões respondidas corretamente? E a variância?
Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas.
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no mínimo duas partículas.
Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
A média e a variância do número de partículas registradas em 10 segundos.
A média e a variância do número de partículas registradas em 10 segundos.