Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma correta) para cada uma de 10 questões.
Qual a probabilidade de que o estudante obtenha no máximo 4 respostas certas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exame de múltipla escolha com 10 questões, onde cada questão tem 5 opções e apenas uma está correta. Queremos descobrir qual a probabilidade de você acertar no máximo 4 dessas 10 questões. Para resolver isso, vamos usar o Cálculo de Probabilidades e mais especificamente o Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois possíveis resultados (acerto ou erro).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante. A fórmula é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é a coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de falha.

Passo 3

No nosso caso:
  • n = 10 (número de questões)
  • k varia de 0 a 4 (já que queremos no máximo 4 acertos)
  • p = 1/5 = 0,2 (probabilidade de acertar uma questão)
  • 1-p = 4/5 = 0,8 (probabilidade de errar uma questão)

Passo 4

Precisamos calcular a probabilidade de acertar 0, 1, 2, 3 ou 4 questões e somar todas essas probabilidades. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 5

Vamos calcular P(0) = binom100 times 0,2^0 times 0,8^10 :
binom100 = 1
P(0) = 1 times 1 times 0,8^10 approx 0,1074

Passo 6

Agora, P(1) = binom101 times 0,2^1 times 0,8^9 :
binom101 = 10
P(1) = 10 times 0,2 times 0,8^9 approx 0,2684

Passo 7

Em seguida, P(2) = binom102 times 0,2^2 times 0,8^8 :
binom102 = 45
P(2) = 45 times 0,04 times 0,8^8 approx 0,3020

Passo 8

Agora, P(3) = binom103 times 0,2^3 times 0,8^7 :
binom103 = 120
P(3) = 120 times 0,008 times 0,8^7 approx 0,2013

Passo 9

E por último, P(4) = binom104 times 0,2^4 times 0,8^6 :
binom104 = 210
P(4) = 210 times 0,0016 times 0,8^6 approx 0,0881

Passo 10

Agora, somamos todas essas probabilidades para achar a probabilidade de acertar no máximo 4 questões:
P(até 4 acertos) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) é
P(até 4 acertos) approx 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 + 0,2013 + 0,0881 é
P(até 4 acertos) approx 0,9672 é

Resposta

A probabilidade de que o estudante obtenha no máximo 4 respostas certas é aproximadamente 96,72%.

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