Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
A média e a variância do número de partículas registradas em 10 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um contador que registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Diz que o número de partículas emitidas por segundo segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual a 3. Nosso objetivo aqui é encontrar a média e a variância do número de partículas registradas em 10 segundos. Vamos precisar entender o que é a distribuição de Poisson e como ela se comporta no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um certo intervalo de tempo, assumindo que esses eventos ocorram com uma taxa média constante e de forma independente. Aqui, a taxa média é de 3 partículas por segundo.

Passo 3

Agora, como queremos saber o número de partículas em 10 segundos, precisamos ajustar o parâmetro da distribuição de Poisson para esse novo intervalo de tempo. A taxa total será igual à taxa por segundo multiplicada pelo número de segundos:
lambdatotal = lambda times tempo = 3 times 10 = 30

Passo 4

Sabemos que, para uma distribuição de Poisson, a média ( mu = 30 ) e a variância ( sigma^2 = 30 ) são ambas iguais ao parâmetro . Portanto, com , temos:

Resposta

A média do número de partículas registradas em 10 segundos é 30 e a variância também é 30.

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