Custa a uma empresa dólares para produzir gramas por dia de um certo composto químico, onde
A empresa pode vender qualquer quantidade do produto químico a a grama. Achar o ponto de equilíbrio da empresa, ou seja, quanto ela deve produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo. Use o método de Newton dê a resposta para a quantidade de gramas mais próxima. [Dica: Receita Lucro - Custo]
[Resp. gramas.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma empresa que produz um composto químico, e queremos descobrir quanto ela precisa produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo, ou seja, o ponto de equilíbrio. Para isso, vamos usar matemática, especificamente o método de Newton, que é uma técnica pra encontrar raízes de equações. Vamos precisar entender bem as funções de custo e receita da empresa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
  • Custo de produção:

    Aqui, é a quantidade produzida em gramas por dia.
  • Receita da venda:
    A empresa vende cada grama por , então a receita total é:

Passo 3

O ponto de equilíbrio acontece quando a receita é igual ao custo, ou seja:

Substituindo as funções que temos:
Vamos reorganizar essa equação para trazer tudo para um lado e igualar a zero:

Simplificando:
Para facilitar, vamos definir uma função:
Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para encontrar a raiz dessa função. O Método de Newton usa a seguinte fórmula para aproximar a raiz:
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função :

Derivando:

Passo 5

Vamos escolher um valor inicial para . Olhando para a função, sabemos que o custo fixo é , então uma estimativa inicial pode ser:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
  1. Primeira iteração ( ):
  2. Segunda iteração ( ):
  3. Terceira iteração ( ):
  4. Quarta iteração ( ):
Após algumas iterações, percebemos que o valor de está se aproximando de 621 gramas.

Resposta

O ponto de equilíbrio da empresa é de aproximadamente gramas por dia.

Exercícios relacionados

Use o método de Newton com valor inicial espeficado para encontrar , a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
(a) Resposta:
Usando método da bissecção, encontre uma estimativa para a raiz da função no intervalo [1,2], dado o erro . [Resp. São necessárias iterações, e obtém-se aproximação
Usando o método da bisseç̧ão para determinar a raiz de em , preencha a seguinte tabela (usando 4 casas decimais ):
Sinal
0 -1 0 -0.5
1
2
3
4 - - Stop
[Resp. Obtém-se
Seja , e . Mostre que sempre que , mas que, para que se tenha , é necessário .