Custa a uma empresa C(q) dólares para produzir q gramas por dia de um certo composto químico, onde
C(q)=1000+2 q+3 q^23
A empresa pode vender qualquer quantidade do produto químico a a grama. Achar o ponto de equilíbrio da empresa, ou seja, quanto ela deve produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo. Use o método de Newton dê a resposta para a quantidade de gramas mais próxima. [Dica: Receita a grama Achar o ponto de equilíbrio da empresa, ou seja, quanto ela deve produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo Use o método de Newton dê a resposta para a quantidade de gramas mais próxima [Dica: Receita Lucro - Custo]
[Resp. Lucro - Custo] [Resp gramas.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma empresa que produz um composto químico, e queremos descobrir quanto ela precisa produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo, ou seja, o ponto de equilíbrio. Para isso, vamos usar matemática, especificamente o método de Newton, que é uma técnica pra encontrar raízes de equações. Vamos precisar entender bem as funções de custo e receita da empresa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
  • Custo de produção:
    C(q) = 1000 + 2q + 3q^23
    Aqui, q é a quantidade produzida em gramas por dia.
  • Receita da venda:
    A empresa vende cada grama por , então a receita total é:
    , então a receita total é:

Passo 3

O ponto de equilíbrio acontece quando a receita é igual ao custo, ou seja:
R(q) = C(q)
Substituindo as funções que temos:
4q = 1000 + 2q + 3q^23
Vamos reorganizar essa equação para trazer tudo para um lado e igualar a zero:
4q - 2q - 1000 - 3q^23 = 0
Simplificando:
2q - 1000 - 3q^23 = 0
Para facilitar, vamos definir uma função:
f(q) = 2q - 1000 - 3q^23
Queremos encontrar o valor de q que faz f(q) = 0.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para encontrar a raiz dessa função. O Método de Newton usa a seguinte fórmula para aproximar a raiz:
qn+1 = qn - f(qn)f'(qn)
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função f(q):
f(q) = 2q - 1000 - 3q^23
Derivando:
f'(q) = 2 - 3 cdot 23 q^-13 = 2 - 2 q^-13

Passo 5

Vamos escolher um valor inicial para q. Olhando para a função, sabemos que o custo fixo é 1000, então uma estimativa inicial pode ser:
q0 = 600
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
  1. Primeira iteração ( q0 = 600):
    f(600) = 2(600) - 1000 - 3(600)^23 approx 1200 - 1000 - 3(78.74) approx 200 - 236.22 = -36.22
    f'(600) = 2 - 2(600)^-13 approx 2 - 2(0.0127) approx 2 - 0.0254 = 1.9746
    q1 = 600 - -36.221.9746 approx 600 + 18.35 = 618.35
  2. Segunda iteração ( q1 = 618.35):
    f(618.35) approx 2(618.35) - 1000 - 3(618.35)^23 approx 1236.7 - 1000 - 3(80.31) approx 236.7 - 240.93 = -4.23
    f'(618.35) = 2 - 2(618.35)^-13 approx 2 - 2(0.0122) approx 2 - 0.0244 = 1.9756
    q2 = 618.35 - -4.231.9756 approx 618.35 + 2.14 = 620.49
  3. Terceira iteração ( q2 = 620.49):
    f(620.49) approx 2(620.49) - 1000 - 3(620.49)^23 approx 1240.98 - 1000 - 3(80.62) approx 240.98 - 241.86 = -0.88
    f'(620.49) = 2 - 2(620.49)^-13 approx 2 - 2(0.0121) approx 2 - 0.0242 = 1.9758
    q3 = 620.49 - -0.881.9758 approx 620.49 + 0.45 = 620.94
  4. Quarta iteração ( q3 = 620.94):
    f(620.94) approx 2(620.94) - 1000 - 3(620.94)^23 approx 1241.88 - 1000 - 3(80.68) approx 241.88 - 242.04 = -0.16
    q4 = 620.94 - -0.161.9758 approx 620.94 + 0.08 = 621.02
Após algumas iterações, percebemos que o valor de q está se aproximando de 621 gramas.

Resposta

O ponto de equilíbrio da empresa é de aproximadamente 621 gramas por dia.

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