Custa a uma empresa
dólares para produzir
gramas por dia de um certo composto químico, onde
A empresa pode vender qualquer quantidade do produto químico a
a grama. Achar o ponto de equilíbrio da empresa, ou seja, quanto ela deve produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo. Use o método de Newton dê a resposta para a quantidade de gramas mais próxima. [Dica: Receita
Lucro - Custo]
[Resp.
gramas.]
[Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma empresa que produz um composto químico, e queremos descobrir quanto ela precisa produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo, ou seja, o ponto de equilíbrio. Para isso, vamos usar matemática, especificamente o método de Newton, que é uma técnica pra encontrar raízes de equações. Vamos precisar entender bem as funções de custo e receita da empresa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
-
Custo de produção:
Aqui,é a quantidade produzida em gramas por dia. -
Receita da venda:
A empresa vende cada grama por, então a receita total é:
Passo 3
O ponto de equilíbrio acontece quando a receita é igual ao custo, ou seja:
Substituindo as funções que temos:
Vamos reorganizar essa equação para trazer tudo para um lado e igualar a zero:
Simplificando:
Para facilitar, vamos definir uma função:
Queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método de Newton para encontrar a raiz dessa função. O Método de Newton usa a seguinte fórmula para aproximar a raiz:
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função
:
Derivando:
Passo 5
Vamos escolher um valor inicial para
. Olhando para a função, sabemos que o custo fixo é
, então uma estimativa inicial pode ser:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
-
Primeira iteração (
): -
Segunda iteração (
): -
Terceira iteração (
): -
Quarta iteração (
):
Após algumas iterações, percebemos que o valor de
está se aproximando de 621 gramas.
Resposta
O ponto de equilíbrio da empresa é de aproximadamente
gramas por dia.
Exercícios relacionados
Use o método de Newton com valor inicial espeficado
para encontrar
, a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
(a) Resposta:
(a)
Usando método da bissecção, encontre uma estimativa para a raiz da função
no intervalo [1,2], dado o erro
. [Resp. São necessárias
iterações, e obtém-se aproximação
Usando o método da bisseç̧ão para determinar a raiz de
em
, preencha a seguinte tabela (usando 4 casas decimais ):
|
|
|
|
|
|
Sinal |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | -1 | 0 | -0.5 | |||
1 | ||||||
2 | ||||||
3 | ||||||
4 | - | - | Stop |
[Resp. Obtém-se
Seja
, e
. Mostre que
sempre que
, mas que, para que se tenha
, é necessário
.