Use o método de Newton com valor inicial espeficado para encontrar , a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
(a) Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usarmos o método de Newton para encontrar a raiz da equação . A gente vai começar com um chute inicial, que é , e queremos chegar na terceira aproximação da raiz, que vai ser . Para isso, precisamos entender como o método de Newton funciona e quais fórmulas vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Newton. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. A fórmula principal é:
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é a função que queremos igualar a zero.
  • é a derivada da função .
No nosso caso, . Vamos precisar calcular a derivada dessa função.

Passo 3

Calculando a derivada de :
Então, a derivada da nossa função é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton para encontrar , a primeira aproximação após o chute inicial .
Primeiro, calculamos e :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 5

Com , vamos calcular , a próxima aproximação.
Primeiro, calculamos e :
Aplicando a fórmula do método de Newton:

Resposta

Exercícios relacionados

Usando método da bissecção, encontre uma estimativa para a raiz da função no intervalo [1,2], dado o erro . [Resp. São necessárias iterações, e obtém-se aproximação
Determinar a reta de regressio linear , que aproxima os pontos e
Custa a uma empresa dólares para produzir gramas por dia de um certo composto químico, onde
A empresa pode vender qualquer quantidade do produto químico a a grama. Achar o ponto de equilíbrio da empresa, ou seja, quanto ela deve produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo. Use o método de Newton dê a resposta para a quantidade de gramas mais próxima. [Dica: Receita Lucro - Custo]
[Resp. gramas.]
Usando o método da bisseç̧ão para determinar a raiz de em , preencha a seguinte tabela (usando 4 casas decimais ):
Sinal
0 -1 0 -0.5
1
2
3
4 - - Stop
[Resp. Obtém-se