Use o método de Newton com valor inicial espeficado
para encontrar
, a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
(a)
Resposta:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usarmos o método de Newton para encontrar a raiz da equação
. A gente vai começar com um chute inicial, que é
, e queremos chegar na terceira aproximação da raiz, que vai ser
. Para isso, precisamos entender como o método de Newton funciona e quais fórmulas vamos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Newton. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. A fórmula principal é:
Onde:
-
é a aproximação atual. -
é a função que queremos igualar a zero. -
é a derivada da função .
No nosso caso,
. Vamos precisar calcular a derivada dessa função.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Então, a derivada da nossa função é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton para encontrar
, a primeira aproximação após o chute inicial
.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 5
Com
, vamos calcular
, a próxima aproximação.
Primeiro, calculamos
e
:
Aplicando a fórmula do método de Newton: