Use o método de Newton com valor inicial espeficado x0 para encontrar x2, a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
(a) x^3+2 x-4=0, x0=1( Resposta: x2 simeq 1.1797)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usarmos o método de Newton para encontrar a raiz da equação . A gente vai começar com um chute inicial, que é , e queremos chegar na terceira aproximação da raiz, que vai ser . Para isso, precisamos entender como o método de Newton funciona e quais fórmulas vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Newton. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. A fórmula principal é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é a função que queremos igualar a zero.
  • é a derivada da função .
No nosso caso, . Vamos precisar calcular a derivada dessa função.

Passo 3

Calculando a derivada de f'(x) = ddx(x^3 + 2x - 4) = 3x^2 + 2 :
Então, a derivada da nossa função é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton para encontrar f(1) = (1)^3 + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1 , a primeira aproximação após o chute inicial f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 3 + 2 = 5 .
Primeiro, calculamos x1 = 1 - -15 = 1 + 15 = 1.2 e :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 5

Com f(1.2) = (1.2)^3 + 2(1.2) - 4 = 1.728 + 2.4 - 4 = 0.128 , vamos calcular f'(1.2) = 3(1.2)^2 + 2 = 3(1.44) + 2 = 4.32 + 2 = 6.32 , a próxima aproximação.
Primeiro, calculamos x2 = 1.2 - 0.1286.32 approx 1.2 - 0.02025316 approx 1.17974684 e :
Aplicando a fórmula do método de Newton:

Resposta

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