Seja , e . Mostre que sempre que , mas que, para que se tenha , é necessário .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A gente tem a função , um ponto específico e uma sequência . A missão aqui é mostrar duas coisas:
Que o valor absoluto de , ou seja, , é menor que para todo .
Que, para que a distância entre e , que é , seja menor que , precisamos que .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções polinomiais, propriedades de valores absolutos e desigualdades. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Sabemos que . Então:
Então, .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor absoluto de :
Como é um número positivo (porque está no denominador), o valor absoluto não muda nada aqui.
Passo 4
Queremos mostrar que para todo . Vamos substituir:
Para resolver essa desigualdade, vamos tomar a raiz décima de ambos os lados:
Então,
Como precisa ser inteiro e , a condição é satisfeita para todo .
Passo 5
Agora, vamos mostrar que para , precisamos que . Primeiro, calculamos :
Queremos que isso seja menor que :
Portanto, para que , precisamos que .
Resposta
Concluímos que para todo e que, para que , é necessário que .