Seja , e . Mostre que sempre que , mas que, para que se tenha , é necessário .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A gente tem a função , um ponto específico e uma sequência . A missão aqui é mostrar duas coisas:
  1. Que o valor absoluto de , ou seja, , é menor que para todo .
  2. Que, para que a distância entre e , que é , seja menor que , precisamos que .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções polinomiais, propriedades de valores absolutos e desigualdades. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que . Então:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor absoluto de :
Como é um número positivo (porque está no denominador), o valor absoluto não muda nada aqui.

Passo 4

Queremos mostrar que para todo . Vamos substituir:
Para resolver essa desigualdade, vamos tomar a raiz décima de ambos os lados:
Então,
Como precisa ser inteiro e , a condição é satisfeita para todo .

Passo 5

Agora, vamos mostrar que para , precisamos que . Primeiro, calculamos :
Queremos que isso seja menor que :
Portanto, para que , precisamos que .

Resposta

Concluímos que para todo e que, para que , é necessário que .

Exercícios relacionados

Usando o método da bisseç̧ão para determinar a raiz de em , preencha a seguinte tabela (usando 4 casas decimais ):
Sinal
0 -1 0 -0.5
1
2
3
4 - - Stop
[Resp. Obtém-se
Custa a uma empresa dólares para produzir gramas por dia de um certo composto químico, onde
A empresa pode vender qualquer quantidade do produto químico a a grama. Achar o ponto de equilíbrio da empresa, ou seja, quanto ela deve produzir por dia para não ter lucro nem prejuízo. Use o método de Newton dê a resposta para a quantidade de gramas mais próxima. [Dica: Receita Lucro - Custo]
[Resp. gramas.]
Seja . Use o método de Newton com a aproximação inicial para encontrar a aproximação (com 4 casas decimais). Veja que isso equivale a encontrar uma aproximação para usando .
(Resposta: Escolhendo como aproximação inicial, obtemos ).
Dados e as aproximações e use o método da secante para encontrar a aproximação , usando 4 casas decimais (sem arredondamento), completando a tabela a seguir:
1 0.7 0.8 0.0614 0.7386
2 0.8 0.7386
3
4
[Resp. Encontra-se