Seja f(x)=(x-1)^10, x^*=1, e xn=1+1 / n. Mostre que |f(xn)|<10^-3 sempre que n >= 2, mas que, para que se tenha |x^*-xn|<10^-3, é necessário n>1000.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A gente tem a função , um ponto específico e uma sequência . A missão aqui é mostrar duas coisas:
  1. Que o valor absoluto de , ou seja, , é menor que para todo .
  2. Que, para que a distância entre e , que é , seja menor que , precisamos que .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções polinomiais, propriedades de valores absolutos e desigualdades. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(xn) = ( xn - 1 )^10 = ( (1 + 1n) - 1 )^10 = ( 1n )^10 . Sabemos que . Então:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor absoluto de |f(xn)| = | ( 1n )^10 | = ( 1n )^10 :
Como é um número positivo (porque está no denominador), o valor absoluto não muda nada aqui.

Passo 4

Queremos mostrar que ( 1n )^10 < 10^-3 para todo 1n < (10^-3)^110 = 10^-0.3 approx 0.5012 . Vamos substituir:
1n < 0.5012 implies n > 10.5012 approx 1.995
Para resolver essa desigualdade, vamos tomar a raiz décima de ambos os lados:
Então,
Como precisa ser inteiro e , a condição é satisfeita para todo .

Passo 5

Agora, vamos mostrar que para |x^* - xn| = | 1 - (1 + 1n) | = | -1n | = 1n , precisamos que 1n < 10^-3 implies n > 110^-3 = 1000 . Primeiro, calculamos :
Queremos que isso seja menor que :
Portanto, para que , precisamos que .

Resposta

Concluímos que para todo e que, para que , é necessário que .

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