Resolva a equação:
log 2(x-1)+log 2(x+1)=3

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo logaritmos na base 2:
log 2(x-1) + log 2(x+1) = 3
Vamos ver o que precisamos para resolver isso: vamos precisar das propriedades dos logaritmos e entender como manipulá-los para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando somamos dois logaritmos com a mesma base, isso equivale ao logaritmo do produto dos argumentos. Ou seja:
logb A + logb B = logb (A cdot B)
Aplicando isso na nossa equação:
log 2(x-1) + log 2(x+1) = log2( (x-1)(x+1) )

Passo 3

Agora, nossa equação ficou:
log2( (x-1)(x+1) ) = 3
Para resolver essa equação, vamos usar a definição de logaritmo: se 2^3 = (x-1)(x+1) , então .
Aplicando isso aqui:

Passo 4

Calculando 8 = (x-1)(x+1) :
8 = x^2 - 1
Agora expandimos o produto:

Passo 5

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
x^2 - 1 - 8 = 0 Rightarrow x^2 - 9 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3 :

Passo 7

Mas precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto do logaritmo. O argumento do logaritmo precisa ser positivo.
Para x-1 = 2 > 0 e x+1 = 4 > 0 válido :
x-1 = -4 < 0 inválido á
Para :
á

Resposta

A solução da equação é .

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