(e) Integrando a diferencial da entropia dada acima,
, encontre uma expressão para a variação de entropia,
, em um processo no qual um gás ideal varia de volume e temperatura reversivelmente. Como a expressão obtida teria que ser alterada no caso de um processo irreversível? Por que?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de termodinâmica juntos! O enunciado pede para encontrar uma expressão para a variação de entropia,
, quando um gás ideal muda de volume e temperatura de forma reversível. Também precisamos entender como essa expressão muda se o processo for irreversível e por quê. Para isso, vamos precisar usar conceitos de entropia, processos reversíveis e irreversíveis, e as propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entropia é uma medida da desordem de um sistema e, em processos reversíveis, podemos calcular a variação de entropia usando a relação:
Aqui,
é a quantidade de calor trocada reversivelmente e
é a temperatura.
Passo 3
Sabemos que para um gás ideal, a quantidade de calor trocada pode ser expressa em termos da capacidade calorífica a volume constante,
, e do trabalho realizado. A equação dada é:
Onde:
-
é a capacidade calorífica a volume constante, -
é o número de mols do gás, -
é a constante dos gases ideais, -
é o volume.
Passo 4
Para encontrar a variação total de entropia,
, vamos integrar essa expressão diferencial. A integração será da temperatura inicial
para a final
e do volume inicial
para o final
:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiramente, a integral em relação à temperatura:
Agora, a integral em relação ao volume:
Passo 6
Somando as duas integrais, a variação total de entropia é:
Passo 7
Agora, vamos considerar o caso de um processo irreversível. Em processos irreversíveis, não podemos simplesmente integrar
porque a relação
se aplica (onde a igualdade só ocorre em processos reversíveis). Portanto, para processos irreversíveis, a variação de entropia deve levar em conta a irreversibilidade, resultando em um aumento adicional na entropia que não está capturado pela simples integração de
.
Resposta
A variação de entropia para um gás ideal que muda de volume e temperatura de forma reversível é dada por:
Em um processo irreversível, essa expressão não se aplica diretamente porque há geração adicional de entropia devido à irreversibilidade. Portanto, a variação de entropia seria maior que a calculada pela expressão acima, refletindo a desordem extra introduzida pelo processo irreversível.