Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de . Use a aproximação inicial e itere até erro relativo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a raiz da função usando a iteração de ponto fixo simples. Isso faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente para resolver equações não lineares. Para resolver, vamos precisar definir uma função que nos ajude a iterar e chegar cada vez mais perto da raiz. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, precisamos rearranjar a equação para a forma . A equação original é:
Rearranjando, temos:
Então, nossa função de iteração será:

Passo 3

A aproximação inicial dada é . Vamos usar essa como ponto de partida para nossa iteração.

Passo 4

Calculando a primeira iteração:
Agora, vamos calcular o erro relativo:
Como 47,89% é maior que 0,001%, precisamos continuar.

Passo 5

Segunda iteração:
Erro relativo:
Ainda acima do limite. Vamos prosseguir.

Passo 6

Terceira iteração:
Erro relativo:
Continuamos.

Passo 7

Quarta iteração:
Erro relativo:
Ainda precisamos melhorar a precisão.

Passo 8

Quinta iteração:
Erro relativo:
Vamos em frente.

Passo 9

Sexta iteração:
Erro relativo:
Estamos chegando mais perto!

Passo 10

Sétima iteração:
Erro relativo:
Ainda acima, mas próximo do limite.

Passo 11

Oitava iteração:
Erro relativo:
A gente está oscilando, mas a cada passo o erro está diminuindo pouco a pouco.

Passo 12

Nona iteração:
Erro relativo:
Continuamos o processo.

Passo 13

Décima iteração:
Erro relativo:
Estamos quase lá!

Passo 14

Décima primeira iteração:
Erro relativo:
O erro está estabilizando em torno de 2,5%.

Passo 15

Décima segunda iteração:
Erro relativo:
Ainda o mesmo padrão.

Passo 16

Décima terceira iteração:
Erro relativo:
Estamos presos em um ciclo, mas a cada iteração o erro se mantém próximo de 2,5%.

Passo 17

Décima quarta iteração:
Erro relativo:
O ciclo continua.

Resposta

Após várias iterações, observamos que o método está oscilando entre os valores aproximadamente e com um erro relativo em torno de . Para alcançar o erro relativo desejado de , seria necessário um número muito grande de iterações, o que indica que a escolha da função pode não ser a mais eficiente para este problema específico.

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