Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de . Use a aproximação inicial e itere até erro relativo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a raiz da função usando a iteração de ponto fixo simples. Isso faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente para resolver equações não lineares. Para resolver, vamos precisar definir uma função que nos ajude a iterar e chegar cada vez mais perto da raiz. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, precisamos rearranjar a equação para a forma . A equação original é:
Rearranjando, temos:
Então, nossa função de iteração será:
Passo 3
A aproximação inicial dada é . Vamos usar essa como ponto de partida para nossa iteração.
Passo 4
Calculando a primeira iteração:
Agora, vamos calcular o erro relativo:
Como 47,89% é maior que 0,001%, precisamos continuar.
Passo 5
Segunda iteração:
Erro relativo:
Ainda acima do limite. Vamos prosseguir.
Passo 6
Terceira iteração:
Erro relativo:
Continuamos.
Passo 7
Quarta iteração:
Erro relativo:
Ainda precisamos melhorar a precisão.
Passo 8
Quinta iteração:
Erro relativo:
Vamos em frente.
Passo 9
Sexta iteração:
Erro relativo:
Estamos chegando mais perto!
Passo 10
Sétima iteração:
Erro relativo:
Ainda acima, mas próximo do limite.
Passo 11
Oitava iteração:
Erro relativo:
A gente está oscilando, mas a cada passo o erro está diminuindo pouco a pouco.
Passo 12
Nona iteração:
Erro relativo:
Continuamos o processo.
Passo 13
Décima iteração:
Erro relativo:
Estamos quase lá!
Passo 14
Décima primeira iteração:
Erro relativo:
O erro está estabilizando em torno de 2,5%.
Passo 15
Décima segunda iteração:
Erro relativo:
Ainda o mesmo padrão.
Passo 16
Décima terceira iteração:
Erro relativo:
Estamos presos em um ciclo, mas a cada iteração o erro se mantém próximo de 2,5%.
Passo 17
Décima quarta iteração:
Erro relativo:
O ciclo continua.
Resposta
Após várias iterações, observamos que o método está oscilando entre os valores aproximadamente e com um erro relativo em torno de . Para alcançar o erro relativo desejado de , seria necessário um número muito grande de iterações, o que indica que a escolha da função pode não ser a mais eficiente para este problema específico.