Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de f(x)=2 sin (x)-x. Use a aproximação inicial x0=0,5 e itere até erro relativo varepsilonR <= 0,001 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a raiz da função usando a iteração de ponto fixo simples. Isso faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente para resolver equações não lineares. Para resolver, vamos precisar definir uma função que nos ajude a iterar e chegar cada vez mais perto da raiz. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, precisamos rearranjar a equação 2 sin(x) - x = 0 para a forma x = 2 sin(x) . A equação original é:
g(x) = 2 sin(x)
Rearranjando, temos:
Então, nossa função de iteração será:

Passo 3

A aproximação inicial dada é . Vamos usar essa como ponto de partida para nossa iteração.

Passo 4

Calculando a primeira iteração:
x1 = g(x0) = 2 sin(0,5) approx 2 times 0,4794255 = 0,958851
Agora, vamos calcular o erro relativo:
varepsilonR = | x1 - x0x1 | times 100% = | 0,958851 - 0,50,958851 | times 100% approx 47,89%
Como 47,89% é maior que 0,001%, precisamos continuar.

Passo 5

Segunda iteração:
x2 = g(x1) = 2 sin(0,958851) approx 2 times 0,818847 = 1,637694
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,637694 - 0,9588511,637694 | times 100% approx 41,25%
Ainda acima do limite. Vamos prosseguir.

Passo 6

Terceira iteração:
x3 = g(x2) = 2 sin(1,637694) approx 2 times 0,998427 = 1,996854
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,996854 - 1,6376941,996854 | times 100% approx 17,73%
Continuamos.

Passo 7

Quarta iteração:
x4 = g(x3) = 2 sin(1,996854) approx 2 times 0,909277 = 1,818554
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,818554 - 1,9968541,818554 | times 100% approx 9,99%
Ainda precisamos melhorar a precisão.

Passo 8

Quinta iteração:
x5 = g(x4) = 2 sin(1,818554) approx 2 times 0,964477 = 1,928954
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,928954 - 1,8185541,928954 | times 100% approx 5,18%
Vamos em frente.

Passo 9

Sexta iteração:
x6 = g(x5) = 2 sin(1,928954) approx 2 times 0,934172 = 1,868344
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,868344 - 1,9289541,868344 | times 100% approx 2,53%
Estamos chegando mais perto!

Passo 10

Sétima iteração:
x7 = g(x6) = 2 sin(1,868344) approx 2 times 0,958359 = 1,916718
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,916718 - 1,8683441,916718 | times 100% approx 2,48%
Ainda acima, mas próximo do limite.

Passo 11

Oitava iteração:
x8 = g(x7) = 2 sin(1,916718) approx 2 times 0,934380 = 1,868760
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,868760 - 1,9167181,868760 | times 100% approx 2,53%
A gente está oscilando, mas a cada passo o erro está diminuindo pouco a pouco.

Passo 12

Nona iteração:
x9 = g(x8) = 2 sin(1,868760) approx 2 times 0,958420 = 1,916840
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,916840 - 1,8687601,916840 | times 100% approx 2,47%
Continuamos o processo.

Passo 13

Décima iteração:
x10 = g(x9) = 2 sin(1,916840) approx 2 times 0,934351 = 1,868702
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,868702 - 1,9168401,868702 | times 100% approx 2,53%
Estamos quase lá!

Passo 14

Décima primeira iteração:
x11 = g(x10) = 2 sin(1,868702) approx 2 times 0,958428 = 1,916856
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,916856 - 1,8687021,916856 | times 100% approx 2,47%
O erro está estabilizando em torno de 2,5%.

Passo 15

Décima segunda iteração:
x12 = g(x11) = 2 sin(1,916856) approx 2 times 0,934347 = 1,868694
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,868694 - 1,9168561,868694 | times 100% approx 2,53%
Ainda o mesmo padrão.

Passo 16

Décima terceira iteração:
x13 = g(x12) = 2 sin(1,868694) approx 2 times 0,958428 = 1,916856
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,916856 - 1,8686941,916856 | times 100% approx 2,47%
Estamos presos em um ciclo, mas a cada iteração o erro se mantém próximo de 2,5%.

Passo 17

Décima quarta iteração:
x14 = g(x13) = 2 sin(1,916856) approx 2 times 0,934347 = 1,868694
Erro relativo:
varepsilonR = | 1,868694 - 1,9168561,868694 | times 100% approx 2,53%
O ciclo continua.

Resposta

Após várias iterações, observamos que o método está oscilando entre os valores aproximadamente e com um erro relativo em torno de . Para alcançar o erro relativo desejado de , seria necessário um número muito grande de iterações, o que indica que a escolha da função pode não ser a mais eficiente para este problema específico.

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