Dada a equação f(x)=x^5-2 x^4-7 x^3+9 x^2+8 x-6=0, pede-se:
Isole as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos (-4,0) e (0,8), respectivamente. [-3,-2],[-2, 1],[0,1],[1,2],[3,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Nosso objetivo é encontrar as raízes reais dessa equação, ou seja, os valores de que fazem . Sabemos que existem duas raízes negativas no intervalo e três positivas no intervalo . Vamos verificar em quais subintervalos específicos cada raiz está localizada: , , , e . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar onde as funções cruzam o eixo mudando de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de nos pontos finais de cada subintervalo para verificar se há uma mudança de sinal, o que indica a presença de uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos começar com o intervalo :
  • Calculando passo a passo:
    • permanece
  • Somando tudo:
Agora, :
  • Calculando passo a passo:
    • permanece
  • Somando tudo:
Como e são ambos negativos, não há mudança de sinal nesse intervalo. Portanto, não há raiz em .

Passo 4

Agora, vamos para o intervalo :
Já sabemos que .
Vamos calcular :
  • Calculando passo a passo:
    • permanece
  • Somando tudo:
Aqui, e . Houve uma mudança de sinal de negativo para positivo, o que indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo .

Passo 5

Vamos agora para o intervalo :
Calculamos anteriormente.
Agora, :
  • Simplificando:
Então, e . Há uma mudança de sinal de negativo para positivo, indicando que há uma raiz nesse intervalo .

Passo 6

Vamos para o intervalo :
Já sabemos que .
Agora, calculamos :
  • Calculando passo a passo:
    • permanece
  • Somando tudo:
Aqui, e . Houve uma mudança de sinal de positivo para negativo, indicando que existe uma raiz nesse intervalo .

Passo 7

Por fim, vamos ao intervalo :
Primeiro, calculamos :
  • Calculando passo a passo:
    • permanece
  • Somando tudo:
Agora, :
  • Calculando passo a passo:
    • permanece
  • Somando tudo:
Aqui, e . Houve uma mudança de sinal de negativo para positivo, indicando que há uma raiz nesse intervalo .

Resposta

As raízes reais da equação estão localizadas nos seguintes intervalos:
  • Uma raiz no intervalo
  • Uma raiz no intervalo
  • Uma raiz no intervalo
  • Uma raiz no intervalo
Perceba que identificamos quatro intervalos com raízes, mas como sabemos que há duas raízes negativas e três positivas, podemos deduzir que uma das raízes negativas está em e as demais estão nos intervalos positivos listados.

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