Dada a equação
, pede-se:
Isole as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos
e
, respectivamente. [-3,-2],[-2,
Isole as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Nosso objetivo é encontrar as raízes reais dessa equação, ou seja, os valores de
que fazem
. Sabemos que existem duas raízes negativas no intervalo
e três positivas no intervalo
. Vamos verificar em quais subintervalos específicos cada raiz está localizada:
,
,
,
e
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar onde as funções cruzam o eixo
mudando de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
nos pontos finais de cada subintervalo para verificar se há uma mudança de sinal, o que indica a presença de uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos começar com o intervalo
:
-
- Calculando passo a passo:
-
-
-
-
-
-
permanece
-
- Somando tudo:
Agora,
:
-
- Calculando passo a passo:
-
-
-
-
-
-
permanece
-
- Somando tudo:
Como
e
são ambos negativos, não há mudança de sinal nesse intervalo. Portanto, não há raiz em
.
Passo 4
Agora, vamos para o intervalo
:
Já sabemos que
.
Vamos calcular
:
-
- Calculando passo a passo:
-
-
-
-
-
-
permanece
-
- Somando tudo:
Aqui,
e
. Houve uma mudança de sinal de negativo para positivo, o que indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo
.
Passo 5
Vamos agora para o intervalo
:
Calculamos
anteriormente.
Agora,
:
-
- Simplificando:
Então,
e
. Há uma mudança de sinal de negativo para positivo, indicando que há uma raiz nesse intervalo
.
Passo 6
Vamos para o intervalo
:
Já sabemos que
.
Agora, calculamos
:
-
- Calculando passo a passo:
-
-
-
-
-
-
permanece
-
- Somando tudo:
Aqui,
e
. Houve uma mudança de sinal de positivo para negativo, indicando que existe uma raiz nesse intervalo
.
Passo 7
Por fim, vamos ao intervalo
:
Primeiro, calculamos
:
-
- Calculando passo a passo:
-
-
-
-
-
-
permanece
-
- Somando tudo:
Agora,
:
-
- Calculando passo a passo:
-
-
-
-
-
-
permanece
-
- Somando tudo:
Aqui,
e
. Houve uma mudança de sinal de negativo para positivo, indicando que há uma raiz nesse intervalo
.
Resposta
As raízes reais da equação
estão localizadas nos seguintes intervalos:
- Uma raiz no intervalo
- Uma raiz no intervalo
- Uma raiz no intervalo
- Uma raiz no intervalo
Perceba que identificamos quatro intervalos com raízes, mas como sabemos que há duas raízes negativas e três positivas, podemos deduzir que uma das raízes negativas está em
e as demais estão nos intervalos positivos listados.