Dada a função f(x)=x^3 - 8, e sabendo que existe uma raiz no intervalo I =[-1,3], execute cinco iterações do método da bissecção com o objetivo de encontrar um valor aproximado para esta raiz. Raíz = (2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e sabe que há uma raiz nesse intervalo . O que a gente vai fazer é usar o Método da Bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Para isso, precisamos entender como o método funciona e aplicá-lo cinco vezes para aproximar a raiz dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método da Bissecção. É um método numérico para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes iguais e ver em qual delas a função muda de sinal, ou seja, onde a raiz está localizada. A cada iteração, a gente reduz o intervalo pela metade, ficando mais perto da raiz.
Nossa função é e temos o intervalo . Vamos checar os valores de nas extremidades do intervalo:
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos começar as cinco iterações do Método da Bissecção.
Iteração 1:
  1. Calculamos o ponto médio:
  2. Avaliamos
  3. Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
Iteração 2:
  1. Novo ponto médio:
  2. Avaliamos
  3. Encontramos , então é a raiz exata!
Na verdade, já encontramos a raiz, então as próximas iterações confirmam que não precisamos mais dividir o intervalo.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo é .

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