Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equação diferencial:
d Nd t-0.89 cdot N+0.003 cdot N^1.9=0
t é medido em meses. Inicialmente tem-se 100 pássaros.
Execute dois passos da seguinte forma:
PASSO 1: RK DE ORDEM 2 com largura de passo igual a 0.8 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre um modelo ecológico que descreve o crescimento de uma população de pássaros ao longo do tempo. A equação diferencial dada é:
dNdt - 0.89 cdot N + 0.003 cdot N^1.9 = 0
Aqui, representa o número de pássaros e o tempo em meses. Inicialmente, temos 100 pássaros. Para resolver essa equação e prever como a população vai crescer, vamos usar o método de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2) com um tamanho de passo ( ) de 0.8 meses. O método RK2 nos ajuda a aproximar a solução de equações diferenciais de forma mais precisa do que métodos mais simples, como o de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o uso do método RK2:
dNdt = 0.89 cdot N - 0.003 cdot N^1.9
Essa forma nos ajuda a identificar a função f(t, N) = 0.89 cdot N - 0.003 cdot N^1.9 que será usada no método RK2:
k1 = f(t0, N0) = 0.89 cdot 100 - 0.003 cdot 100^1.9
Agora, vamos aplicar o primeiro passo do método RK2 para avançar de 100^1.9 = e^1.9 cdot ln(100) approx e^1.9 cdot 4.6052 approx e^8.7499 approx 6306.29 para k1 = 0.89 cdot 100 - 0.003 cdot 6306.29 approx 89 - 18.9189 approx 70.0811 meses.
Passo Inicial:
  • k2 = f(t1, N1) = 0.89 cdot 156.0649 - 0.003 cdot (156.0649)^1.9
  • (156.0649)^1.9 approx e^1.9 cdot ln(156.0649) approx e^1.9 cdot 5.054 approx e^9.6026 approx 14703.08
  • k2 = 0.89 cdot 156.0649 - 0.003 cdot 14703.08 approx 138.9483 - 44.1092 approx 94.8391
Cálculo de N1 = N0 + h2 (k1 + k2) = 100 + 0.82 (70.0811 + 94.8391) = 100 + 0.4 cdot 164.9202 approx 100 + 65.9681 = 165.9681 e :
  1. Calcular :
Vamos calcular :
Então,
  1. Calcular :
Usamos e .
Então,
Calculando :
Então,
Atualizando :

Passo 3

Agora, vamos realizar o segundo passo do método RK2 para avançar de k1 = f(t1, N1) = 0.89 cdot 165.9681 - 0.003 cdot (165.9681)^1.9 para (165.9681)^1.9 approx e^1.9 cdot ln(165.9681) approx e^1.9 cdot 5.111 approx e^9.711 approx 16571.5 meses.
Passo Inicial:
  • k1 = 0.89 cdot 165.9681 - 0.003 cdot 16571.5 approx 147.8213 - 49.7145 approx 98.1068
  • k2 = f(t2, N2) = 0.89 cdot 244.4535 - 0.003 cdot (244.4535)^1.9
  • (244.4535)^1.9 approx e^1.9 cdot ln(244.4535) approx e^1.9 cdot 5.495 approx e^10.4405 approx 34093.4
Cálculo de k2 = 0.89 cdot 244.4535 - 0.003 cdot 34093.4 approx 217.3562 - 102.2802 approx 115.0760 e N2 = N1 + h2 (k1 + k2) = 165.9681 + 0.82 (98.1068 + 115.0760) = 165.9681 + 0.4 cdot 213.1828 approx 165.9681 + 85.2731 = 251.2412 :
  1. Calcular :
Calculando :
Então,
  1. Calcular :
Usamos e .
Então,
Calculando :
Então,
Atualizando :

Resposta

Após dois passos do método de Runge-Kutta de segunda ordem com largura de passo 0.8, a população de pássaros é aproximadamente 251 pássaros no tempo meses.

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