Dada uma equação linear homogênea
. Encontre o conjunto fundamendal para esta equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação linear homogênea de segunda ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é baseada no conjunto fundamental de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso nos ajuda a encontrar raízes que determinarão as soluções da equação original. Substituímos
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Então, encontramos duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 4
Com essas raízes, sabemos que as soluções da equação diferencial são funções exponenciais da forma
. Como temos duas raízes distintas, o conjunto fundamental será formado por essas duas soluções:
Resposta
O conjunto fundamental para a equação diferencial dada é: