Dada uma equação linear homogênea y^prime prime(x)-2 y^prime(x)-2 y(x)=0. Encontre o conjunto fundamendal para esta equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação linear homogênea de segunda ordem:
y''(x) - 2y'(x) - 2y(x) = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é baseada no conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso nos ajuda a encontrar raízes que determinarão as soluções da equação original. Substituímos r^2 - 2r - 2 = 0 por , por e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1
Aqui, r = 2 pm raiz4 + 82 , r = 2 pm raiz122 e r = 2 pm 2raiz32 . Substituindo esses valores:
r = 1 pm raiz3
Então, encontramos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 4

Com essas raízes, sabemos que as soluções da equação diferencial são funções exponenciais da forma y1(x) = e^(1 + raiz3)x . Como temos duas raízes distintas, o conjunto fundamental será formado por essas duas soluções:
y2(x) = e^(1 - raiz3)x

Resposta

O conjunto fundamental para a equação diferencial dada é:
, e^(1 + raiz3)x, e^(1 - raiz3)x ,

Exercícios relacionados