O oscilador harmônico
tem um integral de movimento
, onde
é uma constante proporcional à energia. Considerando integral de movimento como equação diferencial e comparando solução desta equação com a solução geral para o oscilador harmônico, ache como a constante
depende da amplitude de oscilações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico, que é um sistema que oscila de maneira repetitiva, tipo uma mola ou um pêndulo. A equação que temos é
, onde
representa a posição em função do tempo. Além disso, temos uma expressão chamada integral de movimento:
. O objetivo é descobrir como a constante
está relacionada com a amplitude das oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial:
. Essa é a equação característica de um oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação tem a forma:
Aqui,
e
são constantes que determinam a amplitude e a fase da oscilação, e o número 2 vem de
, que é a frequência angular
.
Passo 3
Para simplificar, podemos reescrever a solução usando uma única constante de amplitude e uma fase:
Onde
é a amplitude das oscilações e
é a fase inicial.
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade
tirando a derivada de
:
Note que a derivada de
é
, e aplicamos a regra da cadeia, multiplicando pela derivada interna, que é 2.
Passo 5
Vamos agora substituir
e
na integral de movimento:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Perceba que temos um fator comum de
e a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Comparando com a integral de movimento dada no enunciado:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A constante
é o dobro da amplitude
das oscilações, ou seja,
.