O oscilador harmônico x^prime prime(t)+4 x(t)=0 tem um integral de movimento x^prime(t)^2+4 x(t)^2=C^2, onde C^2 é uma constante proporcional à energia. Considerando integral de movimento como equação diferencial e comparando solução desta equação com a solução geral para o oscilador harmônico, ache como a constante C depende da amplitude de oscilações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico, que é um sistema que oscila de maneira repetitiva, tipo uma mola ou um pêndulo. A equação que temos é , onde representa a posição em função do tempo. Além disso, temos uma expressão chamada integral de movimento: . O objetivo é descobrir como a constante está relacionada com a amplitude das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial: x(t) = A cos(2t) + B sin(2t) . Essa é a equação característica de um oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação tem a forma:
Aqui, e são constantes que determinam a amplitude e a fase da oscilação, e o número 2 vem de , que é a frequência angular .

Passo 3

Para simplificar, podemos reescrever a solução usando uma única constante de amplitude e uma fase:
x(t) = A cos(2t + phi)
Onde é a amplitude das oscilações e é a fase inicial.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade x'(t) = -2A sin(2t + phi) tirando a derivada de :
Note que a derivada de é , e aplicamos a regra da cadeia, multiplicando pela derivada interna, que é 2.

Passo 5

Vamos agora substituir x'(t)^2 + 4x(t)^2 = (-2A sin(2t + phi))^2 + 4(A cos(2t + phi))^2 e = 4A^2 sin^2(2t + phi) + 4A^2 cos^2(2t + phi) na integral de movimento:
Simplificando cada termo:

Passo 6

Perceba que temos um fator comum de = 4A^2 (sin^2(2t + phi) + cos^2(2t + phi)) e a identidade trigonométrica = 4A^2 (1) :
= 4A^2

Passo 7

Comparando com a integral de movimento dada no enunciado:
4A^2 = C^2
Para encontrar C = raiz4A^2 , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
C = 2A

Resposta

A constante é o dobro da amplitude das oscilações, ou seja, .

Exercícios relacionados