Dada equação linear
Ache a solução geral desta equação sabendo que uma solução particular é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear do tipo
. O objetivo é achar a solução geral dessa equação, sabendo que uma solução específica já é
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções complementares quando já temos uma solução conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea, se a gente conhece uma solução particular, podemos encontrar outra solução independente usando o método de redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução
tem a forma
, onde
é uma função que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Vamos definir
, já que
. Agora, precisamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Vamos simplificar essa expressão:
Observamos que os termos
se cancelam:
Passo 5
Fatorando
:
Vamos dividir a equação por
para simplificar:
Simplificando a fração:
Que pode ser reescrito como:
Passo 6
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja
. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 7
Calculamos o fator integrante
:
Simplificando a fração:
Então,
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então,
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para achar
:
Essa integral pode ser complexa, mas podemos reconhecê-la e resolver:
Passo 10
Então, a segunda solução é:
Resposta
A solução geral da equação é:
ou simplificando,
onde
e
são constantes arbitrárias.