Dada equação linear (1+x) y^prime prime(x)+x y^prime(x)-y(x)=0 Ache a solução geral desta equação sabendo que uma solução particular é y1(x)=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear do tipo (1+x) y''(x) + x y'(x) - y(x) = 0. O objetivo é achar a solução geral dessa equação, sabendo que uma solução específica já é y1(x) = x. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções complementares quando já temos uma solução conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea, se a gente conhece uma solução particular, podemos encontrar outra solução independente usando o método de redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução y2(x) tem a forma y2(x) = u(x) y1(x), onde u(x) é uma função que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Vamos definir y2(x) = u(x) x, já que y1(x) = x. Agora, precisamos calcular as derivadas de y2(x):
y2'(x) = u'(x) x + u(x)
y2''(x) = u''(x) x + 2 u'(x)

Passo 4

Substituindo y2(x) e suas derivadas na equação original:
(1+x)(u''(x) x + 2 u'(x)) + x(u'(x) x + u(x)) - u(x) x = 0
Vamos simplificar essa expressão:
(1+x)u''(x) x + 2(1+x)u'(x) + x^2 u'(x) + x u(x) - x u(x) = 0
Observamos que os termos x u(x) se cancelam:
(1+x)u''(x) x + 2(1+x)u'(x) + x^2 u'(x) = 0

Passo 5

Fatorando u'(x):
x(1+x)u''(x) + [2(1+x) + x^2]u'(x) = 0
Vamos dividir a equação por x(1+x) para simplificar:
u''(x) + 2(1+x) + x^2x(1+x) u'(x) = 0
Simplificando a fração:
u''(x) + (2 + 2x + x^2x(1+x)) u'(x) = 0
Que pode ser reescrito como:
u''(x) + (x^2 + 2x + 2x(x+1)) u'(x) = 0

Passo 6

Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja v(x) = u'(x). Assim, a equação fica:
v'(x) + x^2 + 2x + 2x(x+1) v(x) = 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para v(x). Podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 7

Calculamos o fator integrante mu(x):
mu(x) = exp(integral x^2 + 2x + 2x(x+1) dx)
Simplificando a fração:
x^2 + 2x + 2x(x+1) = x(x+1) + 1x(x+1) = 1 + 1x(x+1)
Então,
mu(x) = exp(integral 1 , dx + integral 1x(x+1) dx) = e^x cdot e^ln(xx+1) = e^x cdot xx+1

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^x cdot xx+1 v'(x) + e^x cdot xx+1 cdot x^2 + 2x + 2x(x+1) v(x) = 0
Isso simplifica para:
ddx(e^x cdot xx+1 v(x)) = 0
Integrando ambos os lados:
e^x cdot xx+1 v(x) = C
Onde C é a constante de integração. Então,
v(x) = C cdot e^-x cdot x+1x

Passo 9

Lembrando que v(x) = u'(x), temos:
u'(x) = C cdot e^-x cdot x+1x
Integrando novamente para achar u(x):
u(x) = C integral e^-x cdot x+1x dx + D
Essa integral pode ser complexa, mas podemos reconhecê-la e resolver:
u(x) = C (-e^-x cdot ln|x| ) + D

Passo 10

Então, a segunda solução é:
y2(x) = u(x) cdot y1(x) = (-e^-x ln|x|) cdot x = -x e^-x ln|x|

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 x + C2 (-x e^-x ln|x|)
ou simplificando,
y(x) = C1 x - C2 x e^-x ln|x|
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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