Dada equação linear (1+x) y^prime prime(x)+x y^prime(x)-y(x)=0 Ache uma solução que satisfaz as condições de contorno: y^prime(0)=0, y(-0.5)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de segunda ordem:
(1+x) y''(x) + x y'(x) - y(x) = 0
Precisamos encontrar uma função y'(0) = 0 que resolva essa equação e que também satisfaça as condições de contorno:
y(-0.5) = 0
Para resolver isso, vamos utilizar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividimos todos os termos por y''(x) + x1+x y'(x) - 11+x y(x) = 0 para deixar a equação em uma forma mais manejável:
Agora, a equação está um pouco mais fácil de trabalhar, mas ainda tem coeficientes que dependem de .

Passo 3

Vamos tentar transformar a equação em uma forma padrão para equações diferenciais lineares. Para isso, usamos a seguinte forma geral:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Onde, no nosso caso:
P(x) = x1+x
Q(x) = -11+x
Isso vai nos ajudar a identificar métodos apropriados para encontrar a solução.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação. Vamos supor que existe uma solução da forma:
y(x) = (1 + x)^m
Onde é uma constante que vamos determinar. Essa é uma tentativa baseada na estrutura dos coeficientes.

Passo 5

Derivando y'(x) = m(1 + x)^m - 1:
y''(x) = m(m - 1)(1 + x)^m - 2
(1 + x) [m(m - 1)(1 + x)^m - 2] + x [m(1 + x)^m - 1] - (1 + x)^m = 0
Substituímos essas derivadas na equação simplificada:
m(m - 1)(1 + x)^m - 1 + m x (1 + x)^m - 1 - (1 + x)^m = 0
Simplificando cada termo:
[m(m - 1) + m x - (1 + x)](1 + x)^m - 1 = 0
Factorizando :

Passo 6

Para que a equação acima seja satisfeita para todo m(m - 1) + m x - 1 - x = 0, o termo entre colchetes deve ser zero:
(m^2 - m) + (m - 1) x = 0
Agrupando os termos semelhantes:
m^2 - m - 1 = 0
Isso nos dá um sistema de equações:
m - 1 = 0
1^2 - 1 - 1 = -1 neq 0
Resolvendo a segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Como não satisfaz, nossa suposição estava errada. Vamos então tentar outra abordagem usando uma substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição y' = dydx = dydt cdot dtdx = dydt. Então, y'' = d^2ydx^2 = d^2ydt^2, e as derivadas em relação a t y'' + (t - 1) y' - 1t y = 0 se transformam em derivadas em relação a :
Substituindo na equação:
Ainda não ficou simples, mas facilita um pouco a manipulação.

Passo 8

Vamos tentar resolver essa equação homogênea. Buscamos soluções da forma y' = k t^k - 1. Assim:
y'' = k(k - 1) t^k - 2
t cdot k(k - 1) t^k - 2 + (t - 1) cdot k t^k - 1 - 1t cdot t^k = 0
Substituindo na equação:
k(k - 1) t^k - 1 + k(t - 1) t^k - 1 - t^k - 1 = 0
Simplificando:
[k(k - 1) + k(t - 1) - 1] t^k - 1 = 0
k(k - 1) + k(t - 1) - 1 = 0
Para que isso valha para todo , o coeficiente deve ser zero:
Isso novamente depende de , então nossa suposição ainda não ajudou. Vamos tentar outro método.

Passo 9

Vamos tentar resolver a equação original usando fator integrante. Escrevemos a equação na forma padrão:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Multiplicamos por um fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx que satisfaz:
mu(x) = e^integral x1 + x dx
Calculando integral x1 + x dx = integral (1 - 11 + x) dx = x - ln|1 + x|:
mu(x) = e^x - ln|1 + x| = e^x cdot e^-ln|1 + x| = e^x1 + x
Fazendo a integração:
Então:

Passo 10

Multiplicamos a equação diferencial por e^x1 + x y'' + x e^x(1 + x)^2 y' - e^x(1 + x)^2 y = 0:
A ideia aqui é que a equação se torne exata, ou seja, possa ser escrita como a derivada de um produto. Porém, isso parece complicado, então vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 11

Vamos tentar encontrar uma solução particular assumindo uma forma específica para y'(x) = b. Observando que a equação é linear e homogênea, podemos tentar soluções polinomiais ou exponenciais. Vamos tentar uma solução polinomial simples, como y''(x) = 0.
Calculando as derivadas:
(1 + x) cdot 0 + x cdot b - (a + b x) = 0
b x - a - b x = 0
Substituindo na equação original:
-a = 0 Rightarrow a = 0
Então, nossa solução é .

Passo 12

Agora, aplicamos essa solução nas condições de contorno para encontrar o valor de .
Primeira condição: .
Calculando , então .
Então, nossa solução é .

Resposta

A única solução que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é .

Exercícios relacionados