Dada equação linear
Ache uma solução que satisfaz as condições de contorno:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Precisamos encontrar uma função
que resolva essa equação e que também satisfaça as condições de contorno:
Para resolver isso, vamos utilizar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividimos todos os termos por
para deixar a equação em uma forma mais manejável:
Agora, a equação está um pouco mais fácil de trabalhar, mas ainda tem coeficientes que dependem de
.
Passo 3
Vamos tentar transformar a equação em uma forma padrão para equações diferenciais lineares. Para isso, usamos a seguinte forma geral:
Onde, no nosso caso:
Isso vai nos ajudar a identificar métodos apropriados para encontrar a solução.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação. Vamos supor que existe uma solução da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar. Essa é uma tentativa baseada na estrutura dos coeficientes.
Passo 5
Derivando
:
Substituímos essas derivadas na equação simplificada:
Simplificando cada termo:
Factorizando
:
Passo 6
Para que a equação acima seja satisfeita para todo
, o termo entre colchetes deve ser zero:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação, temos
. Substituindo na primeira:
Como não satisfaz, nossa suposição estava errada. Vamos então tentar outra abordagem usando uma substituição.
Passo 7
Vamos fazer a substituição
. Então,
, e as derivadas em relação a
se transformam em derivadas em relação a
:
Substituindo na equação:
Ainda não ficou simples, mas facilita um pouco a manipulação.
Passo 8
Vamos tentar resolver essa equação homogênea. Buscamos soluções da forma
. Assim:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que isso valha para todo
, o coeficiente deve ser zero:
Isso novamente depende de
, então nossa suposição ainda não ajudou. Vamos tentar outro método.
Passo 9
Vamos tentar resolver a equação original usando fator integrante. Escrevemos a equação na forma padrão:
Multiplicamos por um fator integrante
que satisfaz:
Calculando
:
Fazendo a integração:
Então:
Passo 10
Multiplicamos a equação diferencial por
:
A ideia aqui é que a equação se torne exata, ou seja, possa ser escrita como a derivada de um produto. Porém, isso parece complicado, então vamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 11
Vamos tentar encontrar uma solução particular assumindo uma forma específica para
. Observando que a equação é linear e homogênea, podemos tentar soluções polinomiais ou exponenciais. Vamos tentar uma solução polinomial simples, como
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Então, nossa solução é
.
Passo 12
Agora, aplicamos essa solução nas condições de contorno para encontrar o valor de
.
Primeira condição:
.
Calculando
, então
.
Então, nossa solução é
.
Resposta
A única solução que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é
.