Dada uma equação linear y^prime prime(x)-2 y^prime(x)+y(x)=x^3. Ache a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos trabalhando com uma equação linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular ( ). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: r^2e^rx - 2re^rx + e^rx = 0 . Para isso, assumimos uma solução da forma r^2 - 2r + 1 = 0 , onde (r - 1)^2 = 0 implies r = 1 (raiz dupla) é uma constante que precisamos encontrar.
Calculando as derivadas:
  • yh(x) = (C1 + C2x)e^x
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Resolvendo:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D ) para a equação completa yp' = 3Ax^2 + 2Bx + C . Como o lado direito é um polinômio de grau 3, tentamos uma solução particular da forma:
yp'' = 6Ax + 2B
Calculando as derivadas:
6Ax + 2B - 2(3Ax^2 + 2Bx + C) + (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = x^3
6Ax + 2B - 6Ax^2 - 4Bx - 2C + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = x^3
Substituindo na equação original:
Ax^3 + (-6A + B)x^2 + (6A - 4B + C)x + (2B - 2C + D) = x^3
Expandindo:
A = 1 -6A + B = 0 6A - 4B + C = 0 2B - 2C + D = 0
Agrupando os termos semelhantes:
yp(x) = x^3 + 6x^2 + 18x + 24
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2x)e^x + x^3 + 6x^2 + 18x + 24
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2x)e^x + x^3 + 6x^2 + 18x + 24

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