Dada uma equação linear . Ache a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos trabalhando com uma equação linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea () e uma solução particular (). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Resolvendo:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de grau 3, tentamos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: