Dada uma equação linear
. Encontre uma solução particular supondo que esta solução é um polinômio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial linear
, assumindo que essa solução é um polinômio. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares e métodos de coeficientes a determinar. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar, que serve para encontrar soluções particulares para equações diferenciais não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, identificamos o lado direito da equação, que é
, um polinômio de grau 3. Isso significa que nossa solução particular,
, também será um polinômio de grau 3, ou seja:
Aqui,
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
e
:
- Termo constante:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução particular da equação é: