Dada uma equação linear y^prime prime(x)-2 y^prime(x)+y(x)=x^3. Encontre uma solução particular supondo que esta solução é um polinômio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial linear , assumindo que essa solução é um polinômio. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares e métodos de coeficientes a determinar. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar, que serve para encontrar soluções particulares para equações diferenciais não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, identificamos o lado direito da equação, que é yp(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D , um polinômio de grau 3. Isso significa que nossa solução particular, , também será um polinômio de grau 3, ou seja:
Aqui, são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de yp'(x) = 3A x^2 + 2B x + C :
yp''(x) = 6A x + 2B

Passo 4

Substituímos (6A x + 2B) - 2(3A x^2 + 2B x + C) + (A x^3 + B x^2 + C x + D) = x^3 , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
6A x + 2B - 6A x^2 - 4B x - 2C + A x^3 + B x^2 + C x + D = x^3
Agrupando os termos semelhantes:
A x^3 + (-6A + B) x^2 + (6A - 4B + C) x + (2B - 2C + D) = x^3

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  1. Coeficiente de A = 1 :
-6A + B = 0
  1. Coeficiente de -6(1) + B = 0 Rightarrow B = 6 :
6A - 4B + C = 0
Substituindo 6(1) - 4(6) + C = 0 Rightarrow 6 - 24 + C = 0 Rightarrow C = 18 :
2B - 2C + D = 0
  1. Coeficiente de 2(6) - 2(18) + D = 0 Rightarrow 12 - 36 + D = 0 Rightarrow D = 24 :
Substituindo e :
  1. Termo constante:
Substituindo e :

Resposta

A solução particular da equação é:
yp(x) = x^3 + 6x^2 + 18x + 24

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