Dada uma equação linear homogênea . Prove que esse conjunto é linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos a seguinte equação diferencial linear homogênea:
O objetivo é provar que as soluções dessa equação são linearmente independentes. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e dependência linear. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as soluções gerais da equação diferencial dada. Como é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, vamos resolver encontrando as raízes da equação característica associada.
A equação característica é obtida substituindo por , por e por . Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Simplificando :
Então,
Passo 4
Com as raízes e , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, queremos provar que as duas soluções e são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Uma forma prática de verificar a independência linear é calcular o Wronskiano das soluções. O Wronskiano é dado por: