Dada uma equação linear homogênea y^prime prime(x)-2 y^prime(x)-2 y(x)=0. Prove que esse conjunto é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos a seguinte equação diferencial linear homogênea:
y''(x) - 2 y'(x) - 2 y(x) = 0
O objetivo é provar que as soluções dessa equação são linearmente independentes. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e dependência linear. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as soluções gerais da equação diferencial dada. Como é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, vamos resolver encontrando as raízes da equação característica associada.
A equação característica é obtida substituindo y''(x) por r^2, y'(x) por r e y(x) por 1. Assim, temos:
r^2 - 2r - 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm raiz122
Simplificando raiz12:
raiz12 = 2raiz3
Então,
r = 2 pm 2raiz32 = 1 pm raiz3

Passo 4

Com as raízes r1 = 1 + raiz3 e r2 = 1 - raiz3, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(x) = C1 e^(1 + raiz3)x + C2 e^(1 - raiz3)x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, queremos provar que as duas soluções e^(1 + raiz3)x e e^(1 - raiz3)x são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Uma forma prática de verificar a independência linear é calcular o Wronskiano das soluções. O Wronskiano é dado por:
W(y1, y2)(x) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'

Passo 6

Vamos calcular o Wronskiano para nossas soluções:
Primeiro, calculemos as derivadas:
y1 = e^(1 + raiz3)x Rightarrow y1' = (1 + raiz3) e^(1 + raiz3)x
y2 = e^(1 - raiz3)x Rightarrow y2' = (1 - raiz3) e^(1 - raiz3)x
Agora, plugando no Wronskiano:
W = e^(1 + raiz3)x cdot (1 - raiz3) e^(1 - raiz3)x - e^(1 - raiz3)x cdot (1 + raiz3) e^(1 + raiz3)x
Simplificando:
W = (1 - raiz3) e^2x - (1 + raiz3) e^2x = [ (1 - raiz3) - (1 + raiz3) ] e^2x = (-2raiz3) e^2x

Passo 7

Observamos que o Wronskiano W = -2raiz3 e^2x nunca é zero para nenhum valor de x, já que e^2x é sempre positivo e -2raiz3 é uma constante não nula.

Passo 8

Como o Wronskiano é diferente de zero para todo x, isso nos confirma que as soluções e^(1 + raiz3)x e e^(1 - raiz3)x são linearmente independentes.

Resposta

As soluções da equação diferencial dada são linearmente independentes.

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