(2,5 pontos) Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para o sistema linear abaixo usando .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O método de Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares, onde a gente parte de uma suposição inicial e vai melhorando essa suposição passo a passo. No nosso caso, o sistema é:
Vamos precisar reorganizar cada equação para isolar cada variável em um lado, assumindo que todas as outras variáveis estão conhecidas do passo anterior. Começamos com uma suposição inicial .
Passo 2
No método de Jacobi, a gente reescreve cada equação do sistema isolando cada variável. Por exemplo, para a primeira equação, isolamos :
Fazemos isso para todas as quatro equações:
Isso nos dá as fórmulas para a próxima iteração com base nos valores atuais das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas fórmulas para a primeira iteração (). Como nosso palpite inicial é , substituímos esses valores nas fórmulas:
Então, depois da primeira iteração, temos:
Passo 4
Vamos fazer a segunda iteração () usando os valores de . Substituímos nas fórmulas: