(2,5 pontos) Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para o sistema linear abaixo usando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O método de Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares, onde a gente parte de uma suposição inicial e vai melhorando essa suposição passo a passo. No nosso caso, o sistema é:
Vamos precisar reorganizar cada equação para isolar cada variável em um lado, assumindo que todas as outras variáveis estão conhecidas do passo anterior. Começamos com uma suposição inicial .

Passo 2

No método de Jacobi, a gente reescreve cada equação do sistema isolando cada variável. Por exemplo, para a primeira equação, isolamos :
Fazemos isso para todas as quatro equações:
Isso nos dá as fórmulas para a próxima iteração com base nos valores atuais das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas para a primeira iteração ( ). Como nosso palpite inicial é , substituímos esses valores nas fórmulas:
Então, depois da primeira iteração, temos:

Passo 4

Vamos fazer a segunda iteração ( ) usando os valores de . Substituímos nas fórmulas:
Então, após a segunda iteração, temos:

Resposta

Após duas iterações, a solução aproximada é:

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(A)
(B)
©
(D)
(E
A série de Maclaurin para é uma expansâo em potencias de e pode ser derivada a partir da fórmula geral da série de Taylor. Para , a série de Maclaurin é dada por:
Determine o numero de termos necessários para aproximar ate 8 algarismos significativos usando a aproximaçāo por série de Maclaurin
Calcule a aproximação usando um valor de .
Usando três iteraçōes do método da falsa posição e aproximaçöes iniciais de 1 e 3. Calcule - erro aproximado e o erro verdadeiro depois de cada iteração da função . Há algum problema como resultado?