(2,5 pontos) Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para o sistema linear abaixo usando x^(0)=0.
r 4 x1+x2-x3+x4=-2 x1+4 x2-x3-x4=-1 -x1-x2+5 x3+x4=0 x1-x2+x3+3 x4=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O método de Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares, onde a gente parte de uma suposição inicial e vai melhorando essa suposição passo a passo. No nosso caso, o sistema é:
4 x1 + x2 - x3 + x4 = -2 x1 + 4 x2 - x3 - x4 = -1 -x1 - x2 + 5 x3 + x4 = 0 x1 - x2 + x3 + 3 x4 = 1
Vamos precisar reorganizar cada equação para isolar cada variável em um lado, assumindo que todas as outras variáveis estão conhecidas do passo anterior. Começamos com uma suposição inicial .

Passo 2

No método de Jacobi, a gente reescreve cada equação do sistema isolando cada variável. Por exemplo, para a primeira equação, isolamos x1^(k+1) = -2 - x2^(k) + x3^(k) - x4^(k) 4 :
x1^(k+1) = -2 - x2^(k) + x3^(k) - x4^(k) 4 x2^(k+1) = -1 - x1^(k) + x3^(k) + x4^(k) 4 x3^(k+1) = 0 + x1^(k) + x2^(k) - x4^(k) 5 x4^(k+1) = 1 - x1^(k) + x2^(k) - x3^(k) 3
Fazemos isso para todas as quatro equações:
Isso nos dá as fórmulas para a próxima iteração com base nos valores atuais das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas para a primeira iteração ( x1^(1) = -2 - 0 + 0 - 0 4 = -2 4 = -0,5 x2^(1) = -1 - 0 + 0 + 0 4 = -1 4 = -0,25 x3^(1) = 0 + 0 + 0 - 0 5 = 0 x4^(1) = 1 - 0 + 0 - 0 3 = 1 3 approx 0,3333 ). Como nosso palpite inicial é x^(1) = (-0,5, -0,25, 0, 0,3333) , substituímos esses valores nas fórmulas:
Então, depois da primeira iteração, temos:

Passo 4

Vamos fazer a segunda iteração ( x1^(2) = -2 - (-0,25) + 0 - 0,3333 4 = -2 + 0,25 - 0,3333 4 = -2,0833 4 approx -0,5208 x2^(2) = -1 - (-0,5) + 0 + 0,3333 4 = -1 + 0,5 + 0,3333 4 = -0,1667 4 approx -0,0417 x3^(2) = 0 + (-0,5) + (-0,25) - 0,3333 5 = -1,0833 5 approx -0,2167 x4^(2) = 1 - (-0,5) + (-0,25) - 0 3 = 1 + 0,5 - 0,25 3 = 1,25 3 approx 0,4167 ) usando os valores de x^(2) = (-0,5208, -0,0417, -0,2167, 0,4167) . Substituímos nas fórmulas:
Então, após a segunda iteração, temos:

Resposta

Após duas iterações, a solução aproximada é:
x^(2) = ( -0,5208, -0,0417, -0,2167, 0,4167 )

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