sabe-se que a equação f(x)=g(x) possui duas raízes reais, sendo x=2 uma delas. Determine a outra raiz, localizada no segundo quadrante.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos a equação que possui duas raízes reais, sendo uma delas . Nosso objetivo é encontrar a outra raiz, que está localizada no segundo quadrante. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de equações polinomiais e propriedades das raízes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a equação pode ser reescrita como . Essa nova equação representa uma função polinomial que terá as raízes onde e se igualam.

Passo 3

Vamos supor que a equação resultante seja uma equação do segundo grau, ou seja, da forma , onde , e são coeficientes reais.

Passo 4

Sabemos que uma das raízes dessa equação é x1 + x2 = -ba . Vamos chamar a outra raiz de 2 + r = -ba . De acordo com a soma das raízes de uma equação do segundo grau, temos:
Substituindo e :

Passo 5

Também, a propriedade do produto das raízes nos dá:
x1 cdot x2 = ca
Substituindo 2 cdot r = ca e :

Passo 6

Como a outra raiz está no segundo quadrante, sabemos que deve ser negativo ( ). Isso nos ajuda a determinar o valor de com base nas relações acima.

Passo 7

Resolvendo a equação da soma das raízes para r = -ba - 2 :

Passo 8

Para garantir que -ba - 2 < 0 implies -ba < 2 implies ba > -2 esteja no segundo quadrante ( ), devemos ter:
Isso nos dá uma condição sobre os coeficientes e para que a outra raiz esteja no segundo quadrante.

Resposta

A outra raiz da equação localizada no segundo quadrante é , onde .

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