Dada a função :
(b) Determine a raiz contida no intervalo com critério de parada de , usando o método da:
ii. falsa posição

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função . A tarefa é encontrar a raiz dessa função dentro do intervalo de usando o método da falsa posição, parando quando a aproximação for precisa até . Para isso, vamos precisar entender o método da falsa posição, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo para garantir que há uma raiz entre eles. Calculando:
Como é positivo e é negativo, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo por causa do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da falsa posição. Esse método usa a equação da linha que conecta os pontos e para estimar a raiz. A fórmula para encontrar uma nova aproximação é:
Onde:
  • e são os limites atuais do intervalo.
  • e são os valores da função nesses pontos.
Vamos começar com e .

Passo 4

Calculando na primeira iteração:
Então, . Agora, vamos calcular :
Calculando isso, encontramos:

Passo 5

Como é negativo e também é negativo, isso significa que a raiz ainda está entre e . Vamos atualizar para e repetir o processo.
Calculando a próxima :
Calculando :

Passo 6

Ainda temos negativo e negativo, então vamos atualizar para e calcular novamente:
Calculando :

Passo 7

Agora, ainda é negativo e também. Atualizamos para e repetimos:
Calculando :

Passo 8

Continuamos com e , ambos negativos. Atualizamos para :
Calculando :

Passo 9

Agora, está muito perto de zero, e a diferença entre as últimas duas aproximações ( e ) é de aproximadamente , que é menor que . Então, atendemos ao critério de parada.

Resposta

A raiz da função no intervalo , usando o método da falsa posição com critério de parada de , é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine os intervalos que contêm as raizes e aplique o método da bissecção para resolver:
(a)
Determine a raiz real de :
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz contida no intervalo , considerando .
Determine a raiz real de :
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz, e .
Dada a função :
(b) Determine a raiz contida no intervalo com critério de parada de , usando o método da:
i. bissecção