Dada a função f(x)=-12-21 x+18 x^2-2.75 x^3 :
(b) Determine a raiz contida no intervalo [-1,0] com critério de parada de 10^-2, usando o método da:
ii. falsa posição

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função f(x) = -12 - 21x + 18x^2 - 2.75x^3. A tarefa é encontrar a raiz dessa função dentro do intervalo de [-1, 0] usando o método da falsa posição, parando quando a aproximação for precisa até 10^-2. Para isso, vamos precisar entender o método da falsa posição, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo para garantir que há uma raiz entre eles. Calculando:
f(-1) = -12 - 21(-1) + 18(-1)^2 - 2.75(-1)^3 = -12 + 21 + 18 + 2.75 = 29.75
f(0) = -12 - 21(0) + 18(0)^2 - 2.75(0)^3 = -12
Como f(-1) é positivo e f(0) é negativo, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo [-1, 0] por causa do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da falsa posição. Esse método usa a equação da linha que conecta os pontos (xa, f(xa)) e (xb, f(xb)) para estimar a raiz. A fórmula para encontrar uma nova aproximação xr é:
xr = xb - f(xb)(xa - xb)f(xa) - f(xb)
Onde:
  • xa e xb são os limites atuais do intervalo.
  • f(xa) e f(xb) são os valores da função nesses pontos.
Vamos começar com xa = -1 e xb = 0.

Passo 4

Calculando xr na primeira iteração:
xr = 0 - f(0)(-1 - 0)f(-1) - f(0) = 0 - (-12)(-1)29.75 - (-12) = 0 - 1241.75 approx -0.287
Então, xr approx -0.287. Agora, vamos calcular f(xr):
f(-0.287) = -12 - 21(-0.287) + 18(-0.287)^2 - 2.75(-0.287)^3
Calculando isso, encontramos:
f(-0.287) approx -12 + 6.027 + 1.482 - (-0.061) approx -4.43

Passo 5

Como f(-0.287) approx -4.43 é negativo e f(0) = -12 também é negativo, isso significa que a raiz ainda está entre xa = -1 e xb = -0.287. Vamos atualizar xa para -0.287 e repetir o processo.
Calculando a próxima xr:
xr = -0.287 - f(-0.287)(-1 - (-0.287))f(-1) - f(-0.287) = -0.287 - (-4.43)(-0.713)29.75 - (-4.43) approx -0.287 - 3.15634.18 approx -0.287 - 0.092 approx -0.379
Calculando f(-0.379):
f(-0.379) approx -12 - 21(-0.379) + 18(-0.379)^2 - 2.75(-0.379)^3 approx -12 + 7.959 + 2.446 - (-0.057) approx -1.538

Passo 6

Ainda temos f(-0.379) approx -1.538 negativo e f(-0.287) approx -4.43 negativo, então vamos atualizar xa para -0.379 e calcular novamente:
xr = -0.379 - f(-0.379)(-1 - (-0.379))f(-1) - f(-0.379) = -0.379 - (-1.538)(-0.621)29.75 - (-1.538) approx -0.379 - 0.95531.288 approx -0.379 - 0.031 approx -0.410
Calculando f(-0.410):
f(-0.410) approx -12 - 21(-0.410) + 18(-0.410)^2 - 2.75(-0.410)^3 approx -12 + 8.61 + 3.018 - (-0.071) approx -0.301

Passo 7

Agora, f(-0.410) approx -0.301 ainda é negativo e f(-0.379) approx -1.538 também. Atualizamos xa para -0.410 e repetimos:
xr = -0.410 - f(-0.410)(-1 - (-0.410))f(-1) - f(-0.410) = -0.410 - (-0.301)(-0.590)29.75 - (-0.301) approx -0.410 - 0.17830.051 approx -0.410 - 0.006 approx -0.416
Calculando f(-0.416):
f(-0.416) approx -12 - 21(-0.416) + 18(-0.416)^2 - 2.75(-0.416)^3 approx -12 + 8.736 + 3.112 - (-0.075) approx -0.077

Passo 8

Continuamos com f(-0.416) approx -0.077 e f(-0.410) approx -0.301, ambos negativos. Atualizamos xa para -0.416:
xr = -0.416 - f(-0.416)(-1 - (-0.416))f(-1) - f(-0.416) = -0.416 - (-0.077)(-0.584)29.75 - (-0.077) approx -0.416 - 0.04529.827 approx -0.416 - 0.002 approx -0.418
Calculando f(-0.418):
f(-0.418) approx -12 - 21(-0.418) + 18(-0.418)^2 - 2.75(-0.418)^3 approx -12 + 8.778 + 3.143 - (-0.072) approx -0.007

Passo 9

Agora, f(-0.418) approx -0.007 está muito perto de zero, e a diferença entre as últimas duas aproximações ( -0.416 e -0.418) é de aproximadamente 0.002, que é menor que 10^-2. Então, atendemos ao critério de parada.

Resposta

A raiz da função f(x) = -12 - 21x + 18x^2 - 2.75x^3 no intervalo [-1, 0], usando o método da falsa posição com critério de parada de 10^-2, é aproximadamente x approx -0.418.

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