Determine a raiz real de f(x)=5 x^3-5 x^2+6 x-2 :
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz contida no intervalo [0,1], considerando varepsilon=0.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz real da função usando o método da bissecção. A ideia aqui é localizar a raiz que está no intervalo com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como o método da bissecção funciona: basicamente, a gente divide o intervalo ao meio e verifica em qual metade a raiz está, repetindo esse processo até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo para confirmar que realmente há uma raiz entre eles. Calculando:
f(0) = 5(0)^3 - 5(0)^2 + 6(0) - 2 = -2
f(1) = 5(1)^3 - 5(1)^2 + 6(1) - 2 = 5 - 5 + 6 - 2 = 4
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. Primeiro, encontramos o ponto médio do intervalo c = 0 + 12 = 0.5 :
f(0.5) = 5(0.5)^3 - 5(0.5)^2 + 6(0.5) - 2 = 5(0.125) - 5(0.25) + 3 - 2 = 0.625 - 1.25 + 1 = 0.375
Vamos calcular :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 4

Repetimos o processo com o novo intervalo c = 0 + 0.52 = 0.25 . Calculamos o ponto médio:
f(0.25) = 5(0.25)^3 - 5(0.25)^2 + 6(0.25) - 2 = 5(0.015625) - 5(0.0625) + 1.5 - 2 = 0.078125 - 0.3125 - 0.5 = -0.734375
Calculamos :
Agora, , então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos calcular o ponto médio do intervalo c = 0.25 + 0.52 = 0.375 :
f(0.375) = 5(0.375)^3 - 5(0.375)^2 + 6(0.375) - 2 approx 5(0.052734) - 5(0.140625) + 2.25 - 2 approx 0.263672 - 0.703125 + 0.25 = -0.189453
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Calculamos o ponto médio do intervalo c = 0.375 + 0.52 = 0.4375 :
f(0.4375) = 5(0.4375)^3 - 5(0.4375)^2 + 6(0.4375) - 2 approx 5(0.083984) - 5(0.191406) + 2.625 - 2 approx 0.419921 - 0.957031 + 0.625 = 0.08789
Calculamos :
Agora, , então a raiz está no intervalo .

Resposta

Após aplicar o método da bissec��ão com , a raiz real de no intervalo está aproximadamente em .

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