Determine a raiz real de f(x)=-25+82 x-90 x^2+44 x^3-8 x^4+0.7 x^5 :
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz, com a=0.5, b=1 e varepsilon=0.1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma raiz real da função usando o método da bissecção. Esse método é uma técnica de análise numérica que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, vamos precisar de:
  • Um intervalo inicial onde a função muda de sinal (ou seja, e têm sinais opostos).
  • Uma tolerância de erro , que define quão preciso queremos que seja o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente existe uma raiz no intervalo f(0.5) = -25 + 82(0.5) - 90(0.5)^2 + 44(0.5)^3 -8(0.5)^4 + 0.7(0.5)^5 . Para isso, calculamos f(1) = -25 + 82(1) - 90(1)^2 + 44(1)^3 -8(1)^4 + 0.7(1)^5 e f(0.5) = -25 + 41 - 22.5 + 5.5 - 0.5 + 0.021875 = -2.978125 :
f(1) = -25 + 82 - 90 + 44 -8 + 0.7 = -25 + 82 = 57; 57 -90 = -33; -33 +44=11; 11 -8=3; 3 +0.7=3.7
Calculando:
Então, e . Como é negativo e é positivo, pela Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo a0 = 0.5 e b0 = 1 em dois subintervalos, calcular o valor da função no ponto médio, e então escolher o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal. Repetimos esse processo até que o intervalo seja menor que a tolerância c0 = a0 + b02 = 0.5 + 12 = 0.75 .
Começamos com:
f(0.75) = -25 + 82(0.75) - 90(0.75)^2 + 44(0.75)^3 -8(0.75)^4 + 0.7(0.75)^5
Calculamos o ponto médio f(0.75) = -25 + 61.5 - 50.625 + 24.75 - 3.1640625 + 1.828125 approx 9.4840625 :
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Atualizamos nosso intervalo para o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal:
a1 = 0.5 e b1 = 0.75
Calculamos o novo ponto médio c1 = 0.5 + 0.752 = 0.625 :
f(0.625) = -25 + 82(0.625) - 90(0.625)^2 + 44(0.625)^3 -8(0.625)^4 + 0.7(0.625)^5
Calculamos f(0.625) = -25 + 51.25 - 35.15625 + 10.7421875 - 1.953125 + 0.6806640625 approx 0.373046875 :
Como é positivo e ainda é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos repetir o processo:
a2 = 0.5 e b2 = 0.625
Calculamos c2 = 0.5 + 0.6252 = 0.5625 :
f(0.5625) = -25 + 82(0.5625) - 90(0.5625)^2 + 44(0.5625)^3 -8(0.5625)^4 + 0.7(0.5625)^5
Calculamos f(0.5625) approx -25 + 46.125 - 28.515625 + 7.0146484375 - 0.9013671875 + 0.578125 approx 0.291796875 :
Como ainda é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos o processo:
a3 = 0.5 e b3 = 0.5625
Calculamos c3 = 0.5 + 0.56252 = 0.53125 :
f(0.53125) = -25 + 82(0.53125) - 90(0.53125)^2 + 44(0.53125)^3 -8(0.53125)^4 + 0.7(0.53125)^5
Calculamos f(0.53125) approx -25 + 43.3125 - 25.443359375 + 6.5390625 - 0.800048828125 + 0.39111328125 approx -1.101171875 :
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está no intervalo .

Passo 7

Verificamos a largura do intervalo atual:
b3 - a3 = 0.5625 - 0.53125 = 0.03125
Como , atingimos a precisão desejada. Portanto, a raiz está aproximada em algum ponto dentro de com erro máximo de .

Resposta

A raiz real da função no intervalo utilizando o método da bissecção com está aproximadamente entre e .

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