Determine a raiz real de
:
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz,
e
.
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma raiz real da função
usando o método da bissecção. Esse método é uma técnica de análise numérica que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, vamos precisar de:
- Um intervalo inicial
onde a função muda de sinal (ou seja, e têm sinais opostos). - Uma tolerância de erro
, que define quão preciso queremos que seja o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente existe uma raiz no intervalo
. Para isso, calculamos
e
:
Calculando:
Então,
e
. Como
é negativo e
é positivo, pela Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo
em dois subintervalos, calcular o valor da função no ponto médio, e então escolher o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal. Repetimos esse processo até que o intervalo seja menor que a tolerância
.
Começamos com:
Calculamos o ponto médio
:
Calculamos
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 4
Atualizamos nosso intervalo para o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal:
Calculamos o novo ponto médio
:
Calculamos
:
Como
é positivo e
ainda é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Vamos repetir o processo:
Calculamos
:
Calculamos
:
Como
ainda é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Continuamos o processo:
Calculamos
:
Calculamos
:
Agora,
é negativo e
é positivo, então a raiz está no intervalo
.
Passo 7
Verificamos a largura do intervalo atual:
Como
, atingimos a precisão desejada. Portanto, a raiz está aproximada em algum ponto dentro de
com erro máximo de
.
Resposta
A raiz real da função
no intervalo
utilizando o método da bissecção com
está aproximadamente entre
e
.
Exercícios relacionados
Dada a função
:
(b) Determine a raiz contida no intervalo com critério de parada de
, usando o método da:
ii. falsa posição
(b) Determine a raiz contida no intervalo
ii. falsa posição
Determine os intervalos que contêm as raizes e aplique o método da bissecção para resolver:
(a)
(a)
Dada a função
:
(b) Determine a raiz contida no intervalo com critério de parada de
, usando o método da:
i. bissecção
(b) Determine a raiz contida no intervalo
i. bissecção
Determine as raizes reais de
:
(b) Usando a fórmula quadrática (popularmente chamada de fórmula de Bhaskara).
(b) Usando a fórmula quadrática (popularmente chamada de fórmula de Bhaskara).