Determine a raiz real de :
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz, e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma raiz real da função usando o método da bissecção. Esse método é uma técnica de análise numérica que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, vamos precisar de:
  • Um intervalo inicial onde a função muda de sinal (ou seja, e têm sinais opostos).
  • Uma tolerância de erro , que define quão preciso queremos que seja o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente existe uma raiz no intervalo . Para isso, calculamos e :
Calculando:
Então, e . Como é negativo e é positivo, pela Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo em dois subintervalos, calcular o valor da função no ponto médio, e então escolher o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal. Repetimos esse processo até que o intervalo seja menor que a tolerância .
Começamos com:
Calculamos o ponto médio :
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Atualizamos nosso intervalo para o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal:
Calculamos o novo ponto médio :
Calculamos :
Como é positivo e ainda é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos repetir o processo:
Calculamos :
Calculamos :
Como ainda é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos o processo:
Calculamos :
Calculamos :
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está no intervalo .

Passo 7

Verificamos a largura do intervalo atual:
Como , atingimos a precisão desejada. Portanto, a raiz está aproximada em algum ponto dentro de com erro máximo de .

Resposta

A raiz real da função no intervalo utilizando o método da bissecção com está aproximadamente entre e .

Exercícios relacionados

Dada a função :
(b) Determine a raiz contida no intervalo com critério de parada de , usando o método da:
ii. falsa posição
Determine os intervalos que contêm as raizes e aplique o método da bissecção para resolver:
(a)
Dada a função :
(b) Determine a raiz contida no intervalo com critério de parada de , usando o método da:
i. bissecção
Determine as raizes reais de :
(b) Usando a fórmula quadrática (popularmente chamada de fórmula de Bhaskara).