Determine os intervalos que contêm as raizes e aplique o método da bissecção para resolver:
(a) e^x-3 x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . A matéria que a gente vai usar aqui é a Método da Bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, precisamos primeiro identificar um intervalo onde a função muda de sinal, indicando que tem uma raiz ali.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação como . Nosso objetivo é encontrar os valores de onde .

Passo 3

Vamos testar alguns valores de f(0) = e^0 - 3 times 0 = 1 - 0 = 1 (positivo) para ver onde a função muda de sinal:
  • Para f(1) = e^1 - 3 times 1 approx 2.718 - 3 = -0.282 (negativo) :
  • Para :
Como é positivo e é negativo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 4

Vamos agora aplicar o Método da Bissecção no intervalo c = 0 + 12 = 0.5 .
  1. Calcular o ponto médio: f(0.5) = e^0.5 - 3 times 0.5 approx 1.649 - 1.5 = 0.149 (positivo)
  2. Avaliar :
  3. Determinar o novo intervalo:
    Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Repetimos o processo no novo intervalo c = 0.5 + 12 = 0.75 :
  1. Ponto médio: f(0.75) = e^0.75 - 3 times 0.75 approx 2.117 - 2.25 = -0.133 (negativo)
  2. Avaliar :
  3. Novo intervalo:
    Como é positivo e é negativo, a raiz está em .

Passo 6

Continuamos com o intervalo c = 0.5 + 0.752 = 0.625 :
  1. Ponto médio: f(0.625) = e^0.625 - 3 times 0.625 approx 1.868 - 1.875 = -0.007 (próximo de zero)
  2. Avaliar : ó
  3. Novo intervalo:
    Como é positivo e é negativo, a raiz está em .

Passo 7

Mais uma iteração no intervalo c = 0.5 + 0.6252 = 0.5625 :
  1. Ponto médio: f(0.5625) = e^0.5625 - 3 times 0.5625 approx 1.755 - 1.688 = 0.067 (positivo)
  2. Avaliar :
  3. Novo intervalo:
    Como é positivo e é negativo, a raiz está em .

Resposta

Após algumas iterações, a raiz da equação está aproximadamente em .

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