Dada a função f(x)=-12-21 x+18 x^2-2.75 x^3 :
(b) Determine a raiz contida no intervalo [-1,0] com critério de parada de 10^-2, usando o método da:
i. bissecção

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar uma raiz dessa função no intervalo usando o método da bissecção, com uma precisão de . Vamos usar conceitos de análise de funções e métodos numéricos para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma raiz da função. Uma raiz é o valor de onde . O método da bissecção é uma técnica para encontrar essa raiz quando sabemos que a função muda de sinal no intervalo dado, ou seja, e têm sinais opostos.

Passo 3

Vamos verificar se realmente existe uma raiz no intervalo f(-1) = -12 - 21(-1) + 18(-1)^2 - 2.75(-1)^3 = -12 + 21 + 18 + 2.75 = 29.75 . Calculamos f(0) = -12 - 21(0) + 18(0)^2 - 2.75(0)^3 = -12 e :
Como e , há uma mudança de sinal, então existe pelo menos uma raiz no intervalo.

Passo 4

Agora, aplicamos o método da bissecção. Esse método consiste em dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual delas há a mudança de sinal, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio c = -1 + 02 = -0.5 do intervalo f(-0.5) = -12 - 21(-0.5) + 18(-0.5)^2 - 2.75(-0.5)^3 = -12 + 10.5 + 4.5 + 0.34375 = 3.34375 :
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo c = -0.5 + 02 = -0.25 . Calculamos o novo ponto médio f(-0.25) = -12 - 21(-0.25) + 18(-0.25)^2 - 2.75(-0.25)^3 = -12 + 5.25 + 1.125 + 0.04296875 = -5.58203125 :
Calculamos :
Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos com o intervalo c = -0.5 + (-0.25)2 = -0.375 . Calculamos o novo ponto médio f(-0.375) = -12 - 21(-0.375) + 18(-0.375)^2 - 2.75(-0.375)^3 = -12 + 7.875 + 2.53125 + 0.09765625 = -1.49609375 :
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Vamos novamente dividir o intervalo c = -0.5 + (-0.375)2 = -0.4375 . Calculamos f(-0.4375) = -12 - 21(-0.4375) + 18(-0.4375)^2 - 2.75(-0.4375)^3 = -12 + 9.1875 + 3.421875 + 0.53125 = 1.140625 :
Calculamos :
Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 8

Calculamos o novo ponto médio c = -0.4375 + (-0.375)2 = -0.40625 do intervalo f(-0.40625) = -12 - 21(-0.40625) + 18(-0.40625)^2 - 2.75(-0.40625)^3 = -12 + 8.53125 + 2.96875 + 0.1806640625 = -0.3193359375 :
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Calculamos o ponto médio c = -0.4375 + (-0.40625)2 = -0.421875 :
f(-0.421875) = -12 - 21(-0.421875) + 18(-0.421875)^2 - 2.75(-0.421875)^3 = -12 + 8.859375 + 3.203125 + 0.1953125 = 0.2578125
Calculamos :
Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 10

Como a precisão desejada é , que significa que queremos a raiz com duas casas decimais, podemos parar aqui. O intervalo atual é , e a raiz está próxima de .

Resposta

A raiz da função no intervalo é aproximadamente .

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