Determine as raizes reais de :
© Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais . Calcule o erro relativo cometido na determinação da raiz.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as raízes reais dessa função. Especificamente, na parte ©, vamos usar o método da bissecção para determinar a maior raiz, começando com os intervalos e . Além disso, precisamos calcular o erro relativo na determinação dessa raiz. Para isso, vamos precisar entender como o método da bissecção funciona e aplicar esse conhecimento passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas que mudam de sinal em um intervalo . A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal, repetindo o processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função muda de sinal no intervalo . Calculamos e :
Como e , há uma mudança de sinal no intervalo, o que indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos realizar a primeira iteração do método da bissecção.
  1. Calculamos o ponto médio :
  1. Avaliamos :
  1. Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Segunda iteração:
  1. Calculamos o novo ponto médio :
  1. Avaliamos :
  1. Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Terceira iteração:
  1. Calculamos o novo ponto médio :
  1. Avaliamos :
  1. Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro relativo após as três iterações. O erro relativo é dado por:
Como não temos o valor exato da raiz, podemos usar a diferença entre as últimas duas aproximações como uma estimativa do erro.

Resposta

Após três iterações do método da bissecção, a maior raiz aproximada de é aproximadamente e o erro relativo cometido na determinação dessa raiz é de cerca de .

Exercícios relacionados

Determine as raizes reais de :
(b) Usando a fórmula quadrática (popularmente chamada de fórmula de Bhaskara).
Dada a função :
(b) Determine a raiz contida no intervalo com critério de parada de , usando o método da:
i. bissecção
Dada a função , mostrar quais são os intervalos que contém as raízes da função .
Dada a função , verificar os critérios de convergência para o método da Bisseção e utilizá-lo para obter a raiz no intervalo , com precisão