Determine as raizes reais de f(x)=-0.5 x^2+2.5 x+4.5 :
© Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais a=5, b=10. Calcule o erro relativo cometido na determinação da raiz.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as raízes reais dessa função. Especificamente, na parte ©, vamos usar o método da bissecção para determinar a maior raiz, começando com os intervalos e . Além disso, precisamos calcular o erro relativo na determinação dessa raiz. Para isso, vamos precisar entender como o método da bissecção funciona e aplicar esse conhecimento passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas que mudam de sinal em um intervalo . A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal, repetindo o processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função muda de sinal no intervalo f(5) = -0.5(5)^2 + 2.5(5) + 4.5 = -12.5 + 12.5 + 4.5 = 4.5 . Calculamos f(10) = -0.5(10)^2 + 2.5(10) + 4.5 = -50 + 25 + 4.5 = -20.5 e :
Como e , há uma mudança de sinal no intervalo, o que indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos realizar a primeira iteração do método da bissecção.
  1. Calculamos o ponto médio c = 5 + 102 = 7.5 :
f(7.5) = -0.5(7.5)^2 + 2.5(7.5) + 4.5 = -28.125 + 18.75 + 4.5 = -4.875
  1. Avaliamos :
  1. Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Segunda iteração:
  1. Calculamos o novo ponto médio c = 5 + 7.52 = 6.25 :
f(6.25) = -0.5(6.25)^2 + 2.5(6.25) + 4.5 = -19.53125 + 15.625 + 4.5 = 0.59375
  1. Avaliamos :
  1. Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Terceira iteração:
  1. Calculamos o novo ponto médio c = 6.25 + 7.52 = 6.875 :
f(6.875) = -0.5(6.875)^2 + 2.5(6.875) + 4.5 = -23.73046875 + 17.1875 + 4.5 = -2.04296875
  1. Avaliamos :
  1. Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro relativo após as três iterações. O erro relativo é dado por:
Erro Relativo = | Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato |
Como não temos o valor exato da raiz, podemos usar a diferença entre as últimas duas aproximações como uma estimativa do erro.
Erro Relativo approx | 6.875 - 6.256.875 | = | 0.6256.875 | approx 0.0909 ou 9.09%

Resposta

Após três iterações do método da bissecção, a maior raiz aproximada de é aproximadamente e o erro relativo cometido na determinação dessa raiz é de cerca de .

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