Dada a função
, faça as seguintes tarefas no computador:
c) Calcule todas as raízes com precisão
, usando o Método de Newton.
c) Calcule todas as raízes com precisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função
usando o Método de Newton, com uma precisão de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de métodos numéricos para encontrar soluções de equações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são raízes da função. As raízes são os valores de
que fazem com que
. Para encontrar essas raízes, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para aproximar as soluções de equações não lineares.
Passo 3
O Método de Newton requer uma função e sua derivada. Então, vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, precisamos escolher um valor inicial
próximo de onde suspeitamos que a raiz esteja. Para isso, vamos esboçar ou analisar os valores de
em alguns pontos para identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Passo 5
Vamos calcular
em alguns valores:
Observamos que
, então
já é uma raiz.
Passo 6
Vamos buscar outras raízes. Observamos que
e
, então entre
e
há uma mudança de sinal, indicando outra raiz. Vamos escolher
como ponto de partida.
Passo 7
Aplicando o Método de Newton:
Começamos com
:
Como
não está próximo do intervalo esperado, talvez precisemos escolher outro ponto inicial. Vamos tentar
:
Agora,
:
Continuamos:
Vamos repetir até a diferença ser menor que
:
A diferença entre
e
é menor que 0,01, então paramos aqui.
Resposta
As raízes da função
calculadas pelo Método de Newton, com precisão
, são: