Dada a função , faça as seguintes tarefas no computador:
c) Calcule todas as raízes com precisão , usando o Método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função usando o Método de Newton, com uma precisão de . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de métodos numéricos para encontrar soluções de equações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são raízes da função. As raízes são os valores de que fazem com que . Para encontrar essas raízes, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para aproximar as soluções de equações não lineares.

Passo 3

O Método de Newton requer uma função e sua derivada. Então, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, precisamos escolher um valor inicial próximo de onde suspeitamos que a raiz esteja. Para isso, vamos esboçar ou analisar os valores de em alguns pontos para identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.

Passo 5

Vamos calcular em alguns valores:
Observamos que , então já é uma raiz.

Passo 6

Vamos buscar outras raízes. Observamos que e , então entre e há uma mudança de sinal, indicando outra raiz. Vamos escolher como ponto de partida.

Passo 7

Aplicando o Método de Newton:
Começamos com :
Como não está próximo do intervalo esperado, talvez precisemos escolher outro ponto inicial. Vamos tentar :
Agora, :
Continuamos:
Vamos repetir até a diferença ser menor que :
A diferença entre e é menor que 0,01, então paramos aqui.

Resposta

As raízes da função calculadas pelo Método de Newton, com precisão , são:

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