Dada a função f(x)=x^3-5 x^2+x+3, faça as seguintes tarefas no computador:
c) Calcule todas as raízes com precisão varepsilon=10^-2, usando o Método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função usando o Método de Newton, com uma precisão de . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de métodos numéricos para encontrar soluções de equações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são raízes da função. As raízes são os valores de que fazem com que . Para encontrar essas raízes, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para aproximar as soluções de equações não lineares.

Passo 3

O Método de Newton requer uma função e sua derivada. Então, vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(x^3 - 5x^2 + x + 3) = 3x^2 - 10x + 1 :

Passo 4

Agora, precisamos escolher um valor inicial próximo de onde suspeitamos que a raiz esteja. Para isso, vamos esboçar ou analisar os valores de em alguns pontos para identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.

Passo 5

Vamos calcular f(0) = 0^3 - 5 cdot 0^2 + 0 + 3 = 3 f(1) = 1^3 - 5 cdot 1^2 + 1 + 3 = 0 f(2) = 8 - 20 + 2 + 3 = -7 f(3) = 27 - 45 + 3 + 3 = -12 f(4) = 64 - 80 + 4 + 3 = -9 f(5) = 125 - 125 + 5 + 3 = 8 em alguns valores:
Observamos que , então já é uma raiz.

Passo 6

Vamos buscar outras raízes. Observamos que e , então entre e há uma mudança de sinal, indicando outra raiz. Vamos escolher como ponto de partida.

Passo 7

Aplicando o Método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Começamos com f(3) = -12 f'(3) = 3 cdot 9 - 10 cdot 3 + 1 = 27 - 30 + 1 = -2 x1 = 3 - -12-2 = 3 - 6 = -3 :
f(4) = -9 f'(4) = 3 cdot 16 - 10 cdot 4 + 1 = 48 - 40 + 1 = 9 x1 = 4 - -99 = 4 + 1 = 5
Como f(5) = 8 f'(5) = 3 cdot 25 - 10 cdot 5 + 1 = 75 - 50 + 1 = 26 x2 = 5 - 826 approx 5 - 0,3077 = 4,6923 não está próximo do intervalo esperado, talvez precisemos escolher outro ponto inicial. Vamos tentar f(4,6923) approx (4,6923)^3 - 5(4,6923)^2 + 4,6923 + 3 approx 103,392 - 110,230 + 4,6923 + 3 approx 0,854 f'(4,6923) approx 3(4,6923)^2 - 10 cdot 4,6923 + 1 approx 66,032 - 46,923 + 1 approx 20,109 x3 = 4,6923 - 0,85420,109 approx 4,6923 - 0,0425 approx 4,6498 :
f(4,6498) approx 0,001 f'(4,6498) approx 19,924 x4 = 4,6498 - 0,00119,924 approx 4,6498 - 0,00005 approx 4,64975
Agora, :
Continuamos:
Vamos repetir até a diferença ser menor que :
A diferença entre e é menor que 0,01, então paramos aqui.

Resposta

As raízes da função x = 1 e x approx 4,65 calculadas pelo Método de Newton, com precisão , são:

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