Dada a função f(x)=e^2 x :
b) Interpole x=2,1 usando Lagrange

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para interpolar o valor de usando o método de Lagrange para a função . Isso está dentro da matéria de interpolação polinomial, especificamente usando o polinômio de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar escolher alguns pontos próximos a , calcular os valores de nesses pontos e aplicar a fórmula de Lagrange para encontrar a aproximação de .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três pontos próximos a f(x0) = e^2 times 2 = e^4 approx 54,5982 para fazer a interpolação. Vamos usar f(x1) = e^2 times 2,2 = e^4,4 approx 81,4509 , f(x2) = e^2 times 2,4 = e^4,8 approx 121,5104 e . Agora, vamos calcular os valores de nesses pontos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do polinômio de Lagrange para interpolação. O polinômio de Lagrange de grau 2 é dado por:
P(x) = f(x0) cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + f(x1) cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + f(x2) cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)

Passo 4

Vamos substituir os valores escolhidos na fórmula:
P(2,1) = 54,5982 cdot (2,1 - 2,2)(2,1 - 2,4)(2 - 2,2)(2 - 2,4) + 81,4509 cdot (2,1 - 2)(2,1 - 2,4)(2,2 - 2)(2,2 - 2,4) + 121,5104 cdot (2,1 - 2)(2,1 - 2,2)(2,4 - 2)(2,4 - 2,2)

Passo 5

Vamos calcular cada fração separadamente:
Primeiro termo:
(2,1 - 2,2)(2,1 - 2,4)(2 - 2,2)(2 - 2,4) = (-0,1)(-0,3)(-0,2)(-0,4) = 0,030,08 = 0,375
Segundo termo:
(2,1 - 2)(2,1 - 2,4)(2,2 - 2)(2,2 - 2,4) = (0,1)(-0,3)(0,2)(-0,2) = -0,03-0,04 = 0,75
Terceiro termo:
(2,1 - 2)(2,1 - 2,2)(2,4 - 2)(2,4 - 2,2) = (0,1)(-0,1)(0,4)(0,2) = -0,010,08 = -0,125

Passo 6

Agora, substituímos essas frações de volta na fórmula:
P(2,1) = 54,5982 times 0,375 + 81,4509 times 0,75 + 121,5104 times (-0,125)
P(2,1) = 20,4743 + 61,0882 - 15,1888

Passo 7

Somando tudo:
P(2,1) = 20,4743 + 61,0882 - 15,1888 = 66,3737

Resposta

A interpolação de usando o método de Lagrange é aproximadamente .

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