Dada a função f(x)=-5 x^3+x^2-x+1 :
Determinar a raiz da função no intervalo I=[0,1] pelo Método da Secante com x0=0,3, x1= 0,8 e E <= 10^-4 ;(0,5 ponto)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar uma raiz dela, ou seja, o valor de onde no intervalo . Para isso, vamos usar o Método da Secante, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Precisamos dos valores iniciais e , e vamos continuar a iteração até que o erro seja menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método da Secante. Ele aproxima a raiz de uma função usando uma linha secante entre dois pontos na curva da função. A fórmula para a próxima aproximação xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1) é:
Isso pode parecer complicado, mas vamos passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular f(0,3) = -5(0,3)^3 + (0,3)^2 - 0,3 + 1 = -5(0,027) + 0,09 - 0,3 + 1 = -0,135 + 0,09 - 0,3 + 1 = 0,655 e f(0,8) = -5(0,8)^3 + (0,8)^2 - 0,8 + 1 = -5(0,512) + 0,64 - 0,8 + 1 = -2,56 + 0,64 - 0,8 + 1 = -1,72 :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Secante para encontrar x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) :
x2 = 0,8 - (-1,72) cdot 0,8 - 0,3-1,72 - 0,655 = 0,8 + 1,72 cdot 0,5-2,375 approx 0,8 - 0,3621 = 0,4379
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculamos agora o erro relativo entre E = | x2 - x1x2 | = | 0,4379 - 0,80,4379 | approx 0,827 e :
Como , precisamos continuar o processo.

Passo 6

Repetimos o processo usando f(0,4379) = -5(0,4379)^3 + (0,4379)^2 - 0,4379 + 1 approx -5(0,0837) + 0,1916 - 0,4379 + 1 approx -0,4185 + 0,1916 - 0,4379 + 1 = 0,3352 e .
Calculamos :

Passo 7

Aplicamos a fórmula da Secante para encontrar x3 = x2 - f(x2) cdot x2 - x1f(x2) - f(x1) = 0,4379 - 0,3352 cdot 0,4379 - 0,80,3352 - (-1,72) approx 0,4379 - 0,3352 cdot -0,36212,0552 approx 0,4379 + 0,0590 = 0,4969 :

Passo 8

Calculamos o erro relativo entre E = | 0,4969 - 0,43790,4969 | approx 0,1187 e :
Como , continuamos.

Passo 9

Repetimos o processo com f(0,4969) = -5(0,4969)^3 + (0,4969)^2 - 0,4969 + 1 approx -5(0,1228) + 0,2469 - 0,4969 + 1 approx -0,614 + 0,2469 - 0,4969 + 1 = 0,135 e .
Calculamos :

Passo 10

Aplicamos a fórmula da Secante para encontrar x4 = x3 - f(x3) cdot x3 - x2f(x3) - f(x2) = 0,4969 - 0,135 cdot 0,4969 - 0,43790,135 - 0,3352 approx 0,4969 - 0,135 cdot 0,0590-0,2002 approx 0,4969 + 0,0398 = 0,5367 :

Passo 11

Calculamos o erro relativo entre E = | 0,5367 - 0,49690,5367 | approx 0,0705 e :
Ainda , seguimos.

Passo 12

Continuamos repetindo o processo até que o erro relativo seja menor ou igual a . Após várias iterações, chegaremos a um valor de que satisfaz a condição de erro.

Resposta

A raiz da função no intervalo pelo Método da Secante, com , e erro , é aproximadamente .

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