Dada a função x^3-4,611 x^2, se utilizarmos o método de Newton, com valor inicial x 0=7,0545170504 podemos dizer que:
(a) A segunda iteração é igual a 4,87377756 .
(b) Durante as iterações aparece uma derivada nula.
© A primeira iteração é igual a 5,62420000.
(d) A terceira iteração é igual a 4,63657799.
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e vamos usar o método de Newton para encontrar as iterações a partir de um valor inicial . Vamos precisar entender como funciona o método de Newton, que é uma técnica pra encontrar raízes de funções usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Ou seja, a próxima aproximação é igual à anterior menos a razão entre o valor da função na e a derivada da função na mesma . Então, pra começar, precisamos achar a derivada da nossa função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(x^3 - 4,611x^2) = 3x^2 - 9,222x :
Agora que temos , podemos usar a fórmula do método de Newton para encontrar .

Passo 4

Calculando f(x0) = (7,0545170504)^3 - 4,611 times (7,0545170504)^2 approx 351,638 - 229,610 approx 122,028 usando f'(x0) = 3 times (7,0545170504)^2 - 9,222 times 7,0545170504 approx 149,355 - 65,154 approx 84,201 :
x1 = 7,0545170504 - 122,02884,201 approx 7,0545170504 - 1,450 approx 5,6045
Agora, aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos encontrar f(x1) = (5,6045)^3 - 4,611 times (5,6045)^2 approx 176,355 - 145,496 approx 30,859 usando f'(x1) = 3 times (5,6045)^2 - 9,222 times 5,6045 approx 94,488 - 51,679 approx 42,809 :
x2 = 5,6045 - 30,85942,809 approx 5,6045 - 0,720 approx 4,8845
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 6

Vamos calcular f(x2) = (4,8845)^3 - 4,611 times (4,8845)^2 approx 116,349 - 109,807 approx 6,542 usando f'(x2) = 3 times (4,8845)^2 - 9,222 times 4,8845 approx 71,586 - 45,014 approx 26,572 :
x3 = 4,8845 - 6,54226,572 approx 4,8845 - 0,246 approx 4,6385
Então:

Resposta

A resposta correta é a opção (d) A terceira iteração é igual a 4,63657799.

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