Seja a função f(x)=e^x / 2-cos (2 x). Usando o método da bissecção no intervalo [0,23 ; 0,85], com 3 iterações e tol =10^-10, encontra-se como aproximação da raiz:
(a) 0,31627
(b) 0,30750
© 0,31500
(d) 0,30250
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método da bissecção! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo.
Enunciado resumido: Temos a função e queremos encontrar uma raiz dela no intervalo [0,23 ; 0,85] usando o método da bissecção com 3 iterações e uma tolerância de .
Conteúdo da matéria: O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo repetidamente o intervalo em duas metades e escolhendo a metade que contém a raiz, reduzindo assim o intervalo de busca a cada iteração.
O que vamos precisar:
  • Avaliar a função nos pontos finais do intervalo e no ponto médio.
  • Verificar o sinal de para decidir em qual subintervalo a raiz está.
  • Repetir o processo conforme o número de iterações solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de f(0.23) = e^0.232 - cos(2 times 0.23) approx 1.25862 - cos(0.46) approx 0.6293 - 0.8967 approx -0.2674 nos extremos do intervalo para garantir que há uma raiz entre eles.
Calculando f(0.85) = e^0.852 - cos(2 times 0.85) approx 2.33962 - cos(1.7) approx 1.1698 - (-0.1288) approx 1.2986 :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo [0.23 ; 0.85].

Passo 3

Agora, vamos iniciar o método da bissecção com 3 iterações.
Iteração 1:
Calculamos o ponto médio c1 = 0.23 + 0.852 = 0.54 do intervalo [0.23 ; 0.85]:
f(0.54) = e^0.542 - cos(2 times 0.54) approx 1.71552 - cos(1.08) approx 0.8578 - 0.4645 approx 0.3933
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [0.23 ; 0.54].

Passo 4

Iteração 2:
Agora, trabalhamos com o novo intervalo [0.23 ; 0.54].
Calculamos o ponto médio c2 = 0.23 + 0.542 = 0.385 :
f(0.385) = e^0.3852 - cos(2 times 0.385) approx 1.47092 - cos(0.77) approx 0.7355 - 0.7166 approx 0.0189
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [0.23 ; 0.385].

Passo 5

Iteração 3:
Agora, usamos o intervalo [0.23 ; 0.385].
Calculamos o ponto médio c3 = 0.23 + 0.3852 = 0.3075 :
f(0.3075) = e^0.30752 - cos(2 times 0.3075) approx 1.36032 - cos(0.615) approx 0.6801 - 0.8177 approx -0.1376
Calculamos :
Agora, e , então a raiz está no intervalo [0.3075 ; 0.385].

Resposta

Após 3 iterações, a aproximação da raiz pelo método da bissecção é 0,30750.
Alternativa correta: (b) 0,30750

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