Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método da bissecção! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo.
Enunciado resumido: Temos a função e queremos encontrar uma raiz dela no intervalo [0,23 ; 0,85] usando o método da bissecção com 3 iterações e uma tolerância de .
Conteúdo da matéria: O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo repetidamente o intervalo em duas metades e escolhendo a metade que contém a raiz, reduzindo assim o intervalo de busca a cada iteração.
O que vamos precisar:
Avaliar a função nos pontos finais do intervalo e no ponto médio.
Verificar o sinal de para decidir em qual subintervalo a raiz está.
Repetir o processo conforme o número de iterações solicitado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de nos extremos do intervalo para garantir que há uma raiz entre eles.
Calculando :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo [0.23 ; 0.85].
Passo 3
Agora, vamos iniciar o método da bissecção com 3 iterações.
Iteração 1:
Calculamos o ponto médio do intervalo [0.23 ; 0.85]:
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [0.23 ; 0.54].
Passo 4
Iteração 2:
Agora, trabalhamos com o novo intervalo [0.23 ; 0.54].
Calculamos o ponto médio :
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [0.23 ; 0.385].
Passo 5
Iteração 3:
Agora, usamos o intervalo [0.23 ; 0.385].
Calculamos o ponto médio :
Calculamos :
Agora, e , então a raiz está no intervalo [0.3075 ; 0.385].
Resposta
Após 3 iterações, a aproximação da raiz pelo método da bissecção é 0,30750.