Dada a função
através do tabelamento a seguir:
x | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
|
4.91 | 6.18 | 6.53 | 7.12 | 7.5 |
a) calcule
, usando o método dos trapézios e o método de Simpson, o valor aproximado da integral abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra os valores de
para alguns pontos entre
e
. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral definida de
de 0 a 2, ou seja,
. Para isso, vamos usar dois métodos de aproximação numérica: o método dos trapézios e o método de Simpson. Esses métodos são úteis quando não conseguimos achar a integral de forma exata ou quando só temos os valores da função em alguns pontos.
Passo 2
Vamos começar com o método dos trapézios. Esse método aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando as áreas deles. A fórmula geral para o método dos trapézios com
intervalos é:
onde
e
,
.
Passo 3
No nosso caso, o intervalo é de 0 a 2 (
,
) e temos 4 subintervalos (entre 0-0.5, 0.5-1, 1-1.5, 1.5-2), então
. Calculando
:
Agora, aplicando a fórmula do método dos trapézios com os valores da tabela:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos fazer as contas dentro do colchete:
Agora, multiplicando pela fração:
Passo 5
Então, usando o método dos trapézios, a aproximação da integral é aproximadamente 13.02.
Agora, vamos para o método de Simpson. Esse método também divide o intervalo em partes, mas usa uma combinação de áreas de trapézios e parábolas para uma aproximação melhor. A fórmula para o método de Simpson com
intervalos pares é:
Aqui,
é o mesmo que antes.
Passo 6
No nosso caso, novamente
(que é par, perfeito para Simpson), e
. Aplicando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos calcular o que está dentro do colchete:
Agora, multiplicando pela fração:
Resposta
Então, a aproximação da integral
é:
- Método dos Trapézios: aproximadamente 13.02
- Método de Simpson: aproximadamente 13.11