Dada a função f através do tabelamento a seguir:
x 0 0.5 1 1.5 2
f(x) 4.91 6.18 6.53 7.12 7.5
a) calcule integral0^2 f(x) d x, usando o método dos trapézios e o método de Simpson, o valor aproximado da integral abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra os valores de para alguns pontos entre e . O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral definida de de 0 a 2, ou seja, . Para isso, vamos usar dois métodos de aproximação numérica: o método dos trapézios e o método de Simpson. Esses métodos são úteis quando não conseguimos achar a integral de forma exata ou quando só temos os valores da função em alguns pontos.

Passo 2

Vamos começar com o método dos trapézios. Esse método aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando as áreas deles. A fórmula geral para o método dos trapézios com integrala^b f(x) , dx approx De intervalos é:
onde e , .

Passo 3

No nosso caso, o intervalo é de 0 a 2 ( De, integral0^2 f(x) , dx approx 0.52 [ f(0) + 2f(0.5) + 2f(1) + 2f(1.5) + f(2) ] ) e temos 4 subintervalos (entre 0-0.5, 0.5-1, 1-1.5, 1.5-2), então approx 0.52 [ 4.91 + 2(6.18) + 2(6.53) + 2(7.12) + 7.5 ] . Calculando :
Agora, aplicando a fórmula do método dos trapézios com os valores da tabela:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos fazer as contas dentro do colchete:
4.91 + 2(6.18) = 4.91 + 12.36 = 17.27
17.27 + 2(6.53) = 17.27 + 13.06 = 30.33
30.33 + 2(7.12) = 30.33 + 14.24 = 44.57
44.57 + 7.5 = 52.07
Agora, multiplicando pela fração:
0.52 times 52.07 = 0.25 times 52.07 = 13.0175

Passo 5

Então, usando o método dos trapézios, a aproximação da integral é aproximadamente 13.02.
Agora, vamos para o método de Simpson. Esse método também divide o intervalo em partes, mas usa uma combinação de áreas de trapézios e parábolas para uma aproximação melhor. A fórmula para o método de Simpson com integrala^b f(x) , dx approx De intervalos pares é:
Aqui, é o mesmo que antes.

Passo 6

No nosso caso, novamente integral0^2 f(x) , dx approx 0.53 [ f(0) + 4f(0.5) + 2f(1) + 4f(1.5) + f(2) ] (que é par, perfeito para Simpson), e approx 0.53 [ 4.91 + 4(6.18) + 2(6.53) + 4(7.12) + 7.5 ] . Aplicando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos calcular o que está dentro do colchete:
4.91 + 4(6.18) = 4.91 + 24.72 = 29.63
29.63 + 2(6.53) = 29.63 + 13.06 = 42.69
42.69 + 4(7.12) = 42.69 + 28.48 = 71.17
71.17 + 7.5 = 78.67
Agora, multiplicando pela fração:
0.53 times 78.67 = 0.5 times 78.673 = 39.3353 approx 13.1117

Resposta

Então, a aproximação da integral é:
  • Método dos Trapézios: aproximadamente 13.02
  • Método de Simpson: aproximadamente 13.11

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