Dada as seguintes funções, f(x), utilize interpolação de Newton para aproximar f(1.4) no seguintes pontos x0=1, x1=1.25, e x=1.6 e determine o erro percentual.
b) f(x)=(x-1)^13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar Interpolação de Newton para aproximar o valor de , onde . Para isso, vamos trabalhar com os pontos , e . Além disso, vamos calcular o erro percentual dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:
c|c x & f(x) = (x - 1)^13 hline 1 & (1 - 1)^13 = 0 1.25 & (1.25 - 1)^13 = 0.25^13 1.6 & (1.6 - 1)^13 = 0.6^13
Vamos calcular os valores de f(1) = 0 :
f(1.25) approx 0.62996
f(1.6) approx 0.84343

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas, que é essencial para a Interpolação de Newton. A tabela fica assim:
Como temos apenas três pontos, nossa polinômio será de grau 2.

Passo 4

Vamos construir o polinômio de interpolação de Newton P2(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) :
P2(x) = 0 + 2.51984(x - 1) + 0.73716(x - 1)(x - 1.25)
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Agora, vamos substituir P2(1.4) = 0 + 2.51984(1.4 - 1) + 0.73716(1.4 - 1)(1.4 - 1.25) no polinômio P2(1.4) = 2.51984 times 0.4 + 0.73716 times 0.4 times 0.15 :
P2(1.4) = 1.007936 + 0.0441476 approx 1.0520836

Passo 6

Vamos calcular o valor exato de f(1.4) = (1.4 - 1)^13 = 0.4^13 approx 0.7368063 :

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro percentual da nossa aproximação:
Erro Percentual = | Exato - AproximadoExato | times 100%
Erro Percentual = | 0.7368063 - 1.05208360.7368063 | times 100% approx 42.36%

Resposta

A aproximação de usando a Interpolação de Newton é aproximadamente 1.0521 e o erro percentual é de cerca de 42.36%.

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