Dado o tabelamento de pontos a seguir:
c|cccc xi & 2 & 5 & 7 & 11 hline yi=f(xi) & -2 & 0 & 4 & 9
a) Determine todas as retas através da interpolação linear por partes

Passo 1

Então, a gente tem uma tabela com alguns pontos que representam uma função . O objetivo aqui é encontrar todas as retas que conectam esses pontos usando a interpolação linear por partes. A matéria que estamos lidando é Interpolação Linear, que é usada para estimar valores entre dois pontos conhecidos. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer como encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os intervalos onde vamos aplicar a interpolação linear. Olhando para a tabela:
c|cccc xi & 2 & 5 & 7 & 11 hline yi=f(xi) & -2 & 0 & 4 & 9
Temos três intervalos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a

Passo 3

Vamos começar com o primeiro intervalo, de m = y2 - y1x2 - x1 a m = 0 - (-2)5 - 2 = 23 , que passa pelos pontos y - y1 = m(x - x1) e y - (-2) = 23(x - 2) .
Para encontrar a equação da reta, precisamos calcular o coeficiente angular (a inclinação da reta) e o coeficiente linear (onde a reta cruza o eixo y + 2 = 23x - 43 ).
A fórmula do coeficiente angular y = 23x - 103 é:
Substituindo os valores:
Agora, usando a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Escolhendo o ponto :

Passo 4

Vamos para o segundo intervalo, de m = 4 - 07 - 5 = 42 = 2 a y - 0 = 2(x - 5) , que passa pelos pontos y = 2x - 10 e .
Calculando o coeficiente angular :
Usando a equação da reta com o ponto :

Passo 5

Por fim, o terceiro intervalo é de m = 9 - 411 - 7 = 54 a y - 4 = 54(x - 7) , passando pelos pontos y = 54x - 354 + 4 e y = 54x - 194 .
Calculando o coeficiente angular :
Usando a equação da reta com o ponto :

Resposta

As retas de interpolação linear por partes são:
  1. Para y = 23x - 103 :
y = 2x - 10
  1. Para y = 54x - 194 :
  1. Para :

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