Dado o seguinte tabelamento de um determinando experimento:
x 1 2 3 5
f(x) 1 8 27 125
e) Utilize interpolação quadrática no intervalo [1,3] e determine o valor de x=2.25.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e e precisamos usar a interpolação quadrática no intervalo para encontrar o valor de . Interpolação quadrática é uma técnica que ajusta uma parábola (uma função do segundo grau) que passa por três pontos conhecidos. Para resolver isso, vamos precisar selecionar três pontos dentro do intervalo dado e encontrar a equação da parábola que passa por esses pontos.

Passo 2

Vamos selecionar três pontos da tabela dentro do intervalo . Os pontos são , e .

Passo 3

Agora, vamos supor que a parábola tem a forma . Precisamos encontrar os coeficientes , e que satisfazem as equações geradas por esses três pontos.

Passo 4

Substituindo os pontos na equação da parábola:
Para 1 = a(1)^2 + b(1) + c :
1 = a + b + c
8 = a(2)^2 + b(2) + c
Para 8 = 4a + 2b + c :
27 = a(3)^2 + b(3) + c
27 = 9a + 3b + c
Para :

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 6

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 8 - 1
3a + b = 7 (Equação 4) çã
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 27 - 8
5a + b = 19 (Equação 5) çã

Passo 7

Agora, subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
(5a + b) - (3a + b) = 19 - 7
2a = 12
a = 6

Passo 8

Substituindo 3(6) + b = 7 na Equação 4:
18 + b = 7
b = -11

Passo 9

Agora, substituindo 6 - 11 + c = 1 e -5 + c = 1 na primeira equação:
c = 6

Passo 10

Agora que temos os coeficientes f(x) = 6x^2 - 11x + 6 , e , a equação da parábola é:

Passo 11

Finalmente, substituímos f(2.25) = 6(2.25)^2 - 11(2.25) + 6 na equação para encontrar f(2.25) = 6(5.0625) - 24.75 + 6 :
f(2.25) = 30.375 - 24.75 + 6
f(2.25) = 11.625

Resposta

O valor de utilizando interpolação quadrática no intervalo é 11.625.

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