Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
d) Determine f(0.9)
c|cccc x & 0.6 & 0.7 & 0.8 & 1.0 hline f(x) & -0.177 & 0.014 & 0.224 & 0.658

Passo 1

Estamos resolvendo um exercício de interpolação polinomial de Lagrange de grau 3. Temos quatro pontos dados e precisamos encontrar uma aproximação para . Para isso, vamos usar a fórmula de Lagrange passo a passo.

Passo 2

A interpolação polinomial de Lagrange nos permite construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral para um polinômio de grau 3 é:
P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x)
onde cada Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^3 x - xjxi - xj é um polinômio de base de Lagrange definido por:

Passo 3

Primeiro, vamos identificar os pontos fornecidos:
c|cccc x & 0.6 & 0.7 & 0.8 & 1.0 hline f(x) & -0.177 & 0.014 & 0.224 & 0.658
Assim, temos:
x0 = 0.6, f(x0) = -0.177 x1 = 0.7, f(x1) = 0.014 x2 = 0.8, f(x2) = 0.224 x3 = 1.0, f(x3) = 0.658

Passo 4

Vamos calcular cada polinômio de base L0(0.9) = (0.9 - 0.7)(0.9 - 0.8)(0.9 - 1.0)(0.6 - 0.7)(0.6 - 0.8)(0.6 - 1.0) = (0.2)(0.1)(-0.1)(-0.1)(-0.2)(-0.4) = -0.002-0.008 = 0.25 :
Para L1(0.9) = (0.9 - 0.6)(0.9 - 0.8)(0.9 - 1.0)(0.7 - 0.6)(0.7 - 0.8)(0.7 - 1.0) = (0.3)(0.1)(-0.1)(0.1)(-0.1)(-0.3) = -0.0030.003 = -1 :
L2(0.9) = (0.9 - 0.6)(0.9 - 0.7)(0.9 - 1.0)(0.8 - 0.6)(0.8 - 0.7)(0.8 - 1.0) = (0.3)(0.2)(-0.1)(0.2)(0.1)(-0.2) = -0.006-0.004 = 1.5
Para L3(0.9) = (0.9 - 0.6)(0.9 - 0.7)(0.9 - 0.8)(1.0 - 0.6)(1.0 - 0.7)(1.0 - 0.8) = (0.3)(0.2)(0.1)(0.4)(0.3)(0.2) = 0.0060.024 = 0.25 :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos os valores de P(0.9) = (-0.177)(0.25) + (0.014)(-1) + (0.224)(1.5) + (0.658)(0.25) na fórmula do polinômio de Lagrange:
-0.177 times 0.25 = -0.04425 0.014 times (-1) = -0.014 0.224 times 1.5 = 0.336 0.658 times 0.25 = 0.1645
Calculando cada termo:
P(0.9) = -0.04425 - 0.014 + 0.336 + 0.1645 = 0.44225
Somando todos os termos:

Resposta

A aproximação de usando a interpolação polinomial de Lagrange é aproximadamente 0.442.

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