Encontre a solução aproximada da equação (star) no intervalo [pi / 2, pi] utilizando o Método da Bissecção, com varepsilon=10^-6.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar uma solução aproximada da equação (star) no intervalo [pi / 2, pi] utilizando o Método da Bissecção, com uma precisão de varepsilon = 10^-6. Para isso, vamos usar conceitos de métodos numéricos, especificamente o Método da Bissecção, que ajuda a encontrar raízes de funções contínuas verificando onde a função muda de sinal dentro de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função f(x) relacionada à equação (star) muda de sinal nos extremos do intervalo [pi / 2, pi]. Isso é essencial porque, segundo o Teorema de Bolzano, se f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz no intervalo (a, b).
Ou seja, verificamos se:
f(pi2) cdot f(pi) < 0

Passo 3

Agora, encontramos o ponto médio do intervalo inicial. O ponto médio c é calculado pela média dos extremos:
c = pi2 + pi2 = 3pi4

Passo 4

Em seguida, avaliamos a função no ponto médio:
f(3pi4)
Dependendo do sinal de f(c), decidimos qual subintervalo manter para a próxima iteração:
  • Se f(pi2) cdot f(3pi4) < 0, a raiz está no intervalo [pi/2, 3pi/4].
  • Caso contrário, está no intervalo [3pi/4, pi].

Passo 5

Repetimos os passos anteriores para o novo subintervalo escolhido:
  1. Calculamos o novo ponto médio.
  2. Avaliamos a função no novo ponto médio.
  3. Verificamos onde ocorre a mudança de sinal e selecionamos o subintervalo correspondente.
  4. Continuamos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que varepsilon = 10^-6.

Resposta

Após várias iterações do Método da Bissecção seguindo os passos acima, a solução aproximada da equação (star) no intervalo [pi / 2, pi] com uma precisão de varepsilon = 10^-6 é:
c approx [valor encontrado após as iterações] óçõ

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