Utilize o Método da Secante para obter o valor aproximado de theta, partindo dos pontos iniciais theta0=pi / 2 e theta1=2 pi / 3, com varepsilon=10^-6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que usar o Método da Secante para encontrar uma aproximação para o valor de . Esse método é uma técnica de análise numérica usada para resolver equações . Para isso, vamos precisar dos pontos iniciais e , além de uma tolerância de erro . Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como o Método da Secante funciona. A ideia é usar duas aproximações iniciais para linearizar a função thetan+1 = thetan - f(thetan) cdot thetan - thetan-1f(thetan) - f(thetan-1) e encontrar onde essa linha cruza o eixo , que será nossa próxima aproximação.
A fórmula para encontrar o próximo valor é:
Isso basicamente usa a inclinação da secante entre e para estimar a raiz.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos. Primeiro, calculamos f(theta0) = f(pi2) e f(theta1) = f(2pi3) e . Esses valores dependem da função específica que estamos resolvendo, então vamos supor que você já tem esses valores calculados.
Por exemplo:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Secante para encontrar theta2 = theta1 - f(theta1) cdot theta1 - theta0f(theta1) - f(theta0) :
Substitua os valores de , , e na equação para calcular .

Passo 5

Verificamos se a diferença entre |theta2 - theta1| < 10^-6 e é menor que a tolerância :
Se estiver dentro da tolerância, é a nossa resposta aproximada. Se não, repetimos o processo usando e como novos pontos iniciais.

Passo 6

Continuamos iterando esse processo até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que . Cada iteração nos aproxima mais da raiz da função .

Resposta

O valor aproximado de obtido pelo Método da Secante, com , e , é .

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