Dada a função f(x)=x^2-2 x+1 :
b) Interpole x=1,5 usando Lagrange

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para interpolar o valor de usando o método de Lagrange para a função . A interpolação de Lagrange é uma técnica usada para aproximar o valor de uma função em um ponto específico, baseado em alguns pontos conhecidos dessa função. Para isso, vamos precisar escolher alguns pontos próximos a e aplicar a fórmula de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, escolhemos dois pontos próximos a f(1) = (1)^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 . Vamos usar f(2) = (2)^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 e .
Calculando nesses pontos:
Então, nossos pontos são e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da interpolação de Lagrange para esses dois pontos. A fórmula geral para dois pontos é:
P(x) = y0 cdot x - x1x0 - x1 + y1 cdot x - x0x1 - x0
Onde:
  • e são os valores da função nos pontos e , respectivamente.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
P(x) = 0 cdot x - 21 - 2 + 1 cdot x - 12 - 1
Simplificando:
P(x) = 0 cdot x - 2-1 + 1 cdot (x - 1)
P(x) = 0 + (x - 1)
P(x) = x - 1

Passo 5

Agora que temos a expressão do polinômio interpolador, podemos calcular o valor aproximado de P(1,5) = 1,5 - 1 = 0,5 :

Resposta

O valor interpolado de usando o método de Lagrange é .

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