Determine os coeficientes a e b da reta que passa pelos pontos P1=(1,2) e P2=(3,5).
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos P1 e P2 na equação y=a x+b e construa um sistema linear onde as incógnitas são a e b. Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use varepsilon=10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os coeficientes e da reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar um sistema de equações lineares e resolver usando o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa pra resolver sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as coordenadas dos pontos na equação da reta. Isso vai nos dar duas equações:
Para 2 = a cdot 1 + b :
2 = a + b
5 = a cdot 3 + b
Para 5 = 3a + b :
a + b = 2 3a + b = 5
Agora temos nosso sistema linear:

Passo 3

Hora de resolver esse sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Esse método envolve fazer suposições iniciais para a = 2 - b e b = 5 - 3a e ir refinando essas suposições até a diferença entre as iterações ser menor que .
Vamos reescrever as equações para expressar e em termos uma da outra:
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 4

Escolhemos valores iniciais para a^(1) = 2 - b^(0) = 2 - 0 = 2 e b^(1) = 5 - 3a^(1) = 5 - 3 cdot 2 = 5 - 6 = -1 . Vamos supor |a^(1) - a^(0)| = |2 - 0| = 2 e |b^(1) - b^(0)| = |-1 - 0| = 1 .
Agora, iteramos:
Iteração 1:
Calculamos a diferença:
Ambas são maiores que , então continuamos.

Passo 5

Iteração 2:
a^(2) = 2 - b^(1) = 2 - (-1) = 3
b^(2) = 5 - 3a^(2) = 5 - 3 cdot 3 = 5 - 9 = -4
Diferença:
|3 - 2| = 1
|-4 - (-1)| = 3
Ainda maior que , seguimos.

Passo 6

Iteração 3:
a^(3) = 2 - b^(2) = 2 - (-4) = 6
b^(3) = 5 - 3a^(3) = 5 - 18 = -13
Diferença:
|6 - 3| = 3
|-13 - (-4)| = 9
Continuamos iterando.

Passo 7

Percebi que esse método não está convergindo com os valores escolhidos. Na verdade, para sistemas simples como esse, é mais rápido resolver diretamente. Vamos usar a eliminação:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3a + b) - (a + b) = 5 - 2
2a = 3
a = 32
Substituindo 32 + b = 2 na primeira equação:
b = 2 - 32 = 12

Resposta

Os coeficientes da reta são e .

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