Dada a função f(x)=x^3-3 x-1, mostrar quais são os intervalos que contém as raízes da função f(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa função tem raízes, ou seja, onde . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar onde uma função contínua cruza o eixo x.

Passo 2

Vamos começar avaliando a função em alguns valores de para ver onde ocorre uma mudança de sinal, o que indica a presença de uma raiz. Vamos escolher valores de próximos onde a função possa mudar de positiva para negativa ou vice-versa.

Passo 3

Primeiro, calculamos f(0) = 0^3 - 3 times 0 - 1 = -1 :
f(1) = 1^3 - 3 times 1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3
Agora, calculamos :
Percebemos que de para , a função continua negativa. Vamos tentar valores maiores.

Passo 4

Vamos calcular f(2) = 2^3 - 3 times 2 - 1 = 8 - 6 - 1 = 1 :
Agora, de para , a função passa de negativa para positiva. Isso significa que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Vamos também verificar valores negativos. Calculamos f(-1) = (-1)^3 - 3 times (-1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1 :
f(-2) = (-2)^3 - 3 times (-2) - 1 = -8 + 6 - 1 = -3
E :
De para , a função muda de negativa para positiva, indicando outra raiz nesse intervalo.

Passo 6

Além disso, vamos verificar f(3) = 3^3 - 3 times 3 - 1 = 27 - 9 - 1 = 17 para ter certeza:
Como já vimos mudanças de sinal entre e , e entre e , essas são as regiões onde as raízes estão localizadas.

Resposta

As raízes da função (-2, -1) e (1, 2) estão nos seguintes intervalos:

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