Dada a função , mostrar quais são os intervalos que contém as raízes da função .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa função tem raízes, ou seja, onde . Para isso, vamos usar o **Teorema do Valor Intermediário**, que nos ajuda a identificar onde uma função contínua cruza o eixo x.
Passo 2
Vamos começar avaliando a função em alguns valores de para ver onde ocorre uma mudança de sinal, o que indica a presença de uma raiz. Vamos escolher valores de próximos onde a função possa mudar de positiva para negativa ou vice-versa.
Passo 3
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Percebemos que de para , a função continua negativa. Vamos tentar valores maiores.
Passo 4
Vamos calcular :
Agora, de para , a função passa de negativa para positiva. Isso significa que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Vamos também verificar valores negativos. Calculamos :
E :
De para , a função muda de negativa para positiva, indicando outra raiz nesse intervalo.
Passo 6
Além disso, vamos verificar para ter certeza:
Como já vimos mudanças de sinal entre e , e entre e , essas são as regiões onde as raízes estão localizadas.
Resposta
As raízes da função estão nos seguintes intervalos:
Exercícios relacionados
Determine as raizes reais de :
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais . Calcule o erro relativo cometido na determinação da raiz.
Determine as raizes reais de :
(b) Usando a fórmula quadrática (popularmente chamada de fórmula de Bhaskara).
Dada a função , verificar os critérios de convergência para o método da Bisseção e utilizá-lo para obter a raiz no intervalo , com precisão
O valor de pode ser obtido através da resolução da equação sen(x)=0. Aplique o método de Newton com e precisão de .