Dada a função
, verificar os critérios de convergência para o método da Bisseção e utilizá-lo para obter a raiz no intervalo
, com precisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos usar o Método da Bisseção para encontrar uma raiz dessa função no intervalo
com uma precisão menor que
. Primeiro, vamos entender que o Método da Bisseção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, e para isso precisamos verificar se os critérios de convergência estão atendidos.
Passo 2
Primeiro, vamos checar os critérios de convergência do Método da Bisseção. Para que esse método funcione, a função deve ser contínua no intervalo escolhido e deve haver uma mudança de sinal nos extremos do intervalo. Isso significa que
e
devem ter sinais opostos, indicando que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
. Sabemos que polinômios e funções exponenciais são contínuos em todo o seu domínio, então
também é contínua no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a mudança de sinal nos extremos do intervalo. Calculando
e
:
Como
é negativo e
é positivo, temos uma mudança de sinal. Isso confirma que existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 5
Com os critérios de convergência atendidos, vamos aplicar o Método da Bisseção. Esse método consiste em dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual das subparteiras ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Vamos definir:
Calculamos o ponto médio:
Agora, avaliamos
:
Como
e
, há uma mudança de sinal entre
e
. Então, agora o novo intervalo é
.
Passo 6
Vamos repetir o processo com o novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Avaliamos
:
Agora, temos
e
, indicando uma nova mudança de sinal no intervalo
.
Passo 7
Continuando, calculamos o ponto médio do intervalo
:
Avaliamos
:
Há mudança de sinal entre
e
, então o novo intervalo é
.
Passo 8
Calculamos o ponto médio do intervalo
:
Avaliamos
:
A mudança de sinal ocorre entre
e
, então o novo intervalo é
.
Passo 9
Calculamos o ponto médio do intervalo
:
Avaliamos
:
A mudança de sinal ocorre entre
e
, então o novo intervalo é
.
Passo 10
Calculamos o ponto médio do intervalo
:
Avaliamos
:
Ainda há uma mudança de sinal entre
e
, então o novo intervalo é
.
Passo 11
Calculamos o ponto médio do intervalo
:
Avaliamos
:
Agora, a mudança de sinal está entre
e
. O intervalo atualizado é
.
Passo 12
Vamos verificar a precisão. O tamanho do intervalo atual é:
Como
, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A raiz da função
no intervalo
com precisão
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, mostrar quais são os intervalos que contém as raízes da função
.
Determine as raizes reais de
:
© Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais . Calcule o erro relativo cometido na determinação da raiz.
© Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais
O valor de
pode ser obtido através da resolução da equação sen(x)=0. Aplique o método de Newton com
e precisão de
.
Vamos considerar a função
, cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule
e o respectivo erro cometido, usando:
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e .
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e