Dada a função , verificar os critérios de convergência para o método da Bisseção e utilizá-lo para obter a raiz no intervalo , com precisão

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos usar o Método da Bisseção para encontrar uma raiz dessa função no intervalo com uma precisão menor que . Primeiro, vamos entender que o Método da Bisseção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, e para isso precisamos verificar se os critérios de convergência estão atendidos.

Passo 2

Primeiro, vamos checar os critérios de convergência do Método da Bisseção. Para que esse método funcione, a função deve ser contínua no intervalo escolhido e deve haver uma mudança de sinal nos extremos do intervalo. Isso significa que e devem ter sinais opostos, indicando que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função . Sabemos que polinômios e funções exponenciais são contínuos em todo o seu domínio, então também é contínua no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a mudança de sinal nos extremos do intervalo. Calculando e :
Como é negativo e é positivo, temos uma mudança de sinal. Isso confirma que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 5

Com os critérios de convergência atendidos, vamos aplicar o Método da Bisseção. Esse método consiste em dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual das subparteiras ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Vamos definir:
Calculamos o ponto médio:
Agora, avaliamos :
Como e , há uma mudança de sinal entre e . Então, agora o novo intervalo é .

Passo 6

Vamos repetir o processo com o novo intervalo . Calculamos o ponto médio:
Avaliamos :
Agora, temos e , indicando uma nova mudança de sinal no intervalo .

Passo 7

Continuando, calculamos o ponto médio do intervalo :
Avaliamos :
Há mudança de sinal entre e , então o novo intervalo é .

Passo 8

Calculamos o ponto médio do intervalo :
Avaliamos :
A mudança de sinal ocorre entre e , então o novo intervalo é .

Passo 9

Calculamos o ponto médio do intervalo :
Avaliamos :
A mudança de sinal ocorre entre e , então o novo intervalo é .

Passo 10

Calculamos o ponto médio do intervalo :
Avaliamos :
Ainda há uma mudança de sinal entre e , então o novo intervalo é .

Passo 11

Calculamos o ponto médio do intervalo :
Avaliamos :
Agora, a mudança de sinal está entre e . O intervalo atualizado é .

Passo 12

Vamos verificar a precisão. O tamanho do intervalo atual é:
Como , atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função no intervalo com precisão é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Dada a função , mostrar quais são os intervalos que contém as raízes da função .
Determine as raizes reais de :
© Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais . Calcule o erro relativo cometido na determinação da raiz.
O valor de pode ser obtido através da resolução da equação sen(x)=0. Aplique o método de Newton com e precisão de .
Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e .