Dada a função f(x)=x^3-e^x, verificar os critérios de convergência para o método da Bisseção e utilizá-lo para obter a raiz no intervalo [1,5 ; 2,5], com precisão varepsilon<0,1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos usar o Método da Bisseção para encontrar uma raiz dessa função no intervalo com uma precisão menor que . Primeiro, vamos entender que o Método da Bisseção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, e para isso precisamos verificar se os critérios de convergência estão atendidos.

Passo 2

Primeiro, vamos checar os critérios de convergência do Método da Bisseção. Para que esse método funcione, a função deve ser contínua no intervalo escolhido e deve haver uma mudança de sinal nos extremos do intervalo. Isso significa que e devem ter sinais opostos, indicando que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função . Sabemos que polinômios e funções exponenciais são contínuos em todo o seu domínio, então também é contínua no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a mudança de sinal nos extremos do intervalo. Calculando f(1,5) = (1,5)^3 - e^1,5 approx 3,375 - 4,4817 approx -1,1067 e f(2,5) = (2,5)^3 - e^2,5 approx 15,625 - 12,1825 approx 3,4425 :
Como é negativo e é positivo, temos uma mudança de sinal. Isso confirma que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 5

Com os critérios de convergência atendidos, vamos aplicar o Método da Bisseção. Esse método consiste em dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual das subparteiras ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Vamos definir:
a = 1,5 e b = 2,5
Calculamos o ponto médio:
c = a + b2 = 1,5 + 2,52 = 2,0
Agora, avaliamos f(2,0) = 2^3 - e^2 approx 8 - 7,3891 approx 0,6109 :
Como e , há uma mudança de sinal entre e . Então, agora o novo intervalo é .

Passo 6

Vamos repetir o processo com o novo intervalo c = 1,5 + 2,02 = 1,75 . Calculamos o ponto médio:
f(1,75) = (1,75)^3 - e^1,75 approx 5,3594 - 5,7546 approx -0,3952
Avaliamos :
Agora, temos e , indicando uma nova mudança de sinal no intervalo .

Passo 7

Continuando, calculamos o ponto médio do intervalo c = 1,75 + 2,02 = 1,875 :
f(1,875) = (1,875)^3 - e^1,875 approx 6,5918 - 6,5095 approx 0,0823
Avaliamos :
Há mudança de sinal entre e , então o novo intervalo é .

Passo 8

Calculamos o ponto médio do intervalo c = 1,75 + 1,8752 = 1,8125 :
f(1,8125) = (1,8125)^3 - e^1,8125 approx 5,9482 - 6,1365 approx -0,1883
Avaliamos :
A mudança de sinal ocorre entre e , então o novo intervalo é .

Passo 9

Calculamos o ponto médio do intervalo c = 1,8125 + 1,8752 = 1,84375 :
f(1,84375) = (1,84375)^3 - e^1,84375 approx 6,2759 - 6,3060 approx -0,0301
Avaliamos :
A mudança de sinal ocorre entre e , então o novo intervalo é .

Passo 10

Calculamos o ponto médio do intervalo c = 1,84375 + 1,8752 = 1,859375 :
f(1,859375) = (1,859375)^3 - e^1,859375 approx 6,4260 - 6,4638 approx -0,0378
Avaliamos :
Ainda há uma mudança de sinal entre e , então o novo intervalo é .

Passo 11

Calculamos o ponto médio do intervalo c = 1,859375 + 1,8752 = 1,8671875 :
f(1,8671875) = (1,8671875)^3 - e^1,8671875 approx 6,5095 - 6,5000 approx 0,0095
Avaliamos :
Agora, a mudança de sinal está entre e . O intervalo atualizado é .

Passo 12

Vamos verificar a precisão. O tamanho do intervalo atual é:
1,8671875 - 1,859375 = 0,0078125
Como , atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função no intervalo com precisão é aproximadamente .

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