O valor de pi pode ser obtido através da resolução da equação sen(x)=0. Aplique o método de Newton com x0=3 e precisão de 10^-7.

Passo 1

Vamos resolver a equação sin(x) = 0 para encontrar o valor de pi. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para aproximar raízes de funções. Precisamos começar com um valor inicial, que neste caso é x0 = 3, e continuar as iterações até que a precisão desejada de 10^-7 seja alcançada.

Passo 2

Método de Newton é uma forma iterativa para encontrar as raízes de uma função. A fórmula que vamos usar é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f(x) = sin(x) e sua derivada f'(x) = cos(x).

Passo 3

Vamos começar a aplicar a fórmula com nosso valor inicial x0 = 3.
  1. Primeira iteração ( n=0):
    • f(x0) = sin(3) approx 0.14112
    • f'(x0) = cos(3) approx -0.98999
    • Aplicando a fórmula: x1 = 3 - 0.14112-0.98999 approx 3 + 0.1425 = 3.1425

Passo 4

  1. Segunda iteração ( n=1):
    • f(x1) = sin(3.1425) approx 0.00109
    • f'(x1) = cos(3.1425) approx -0.9999994
    • Aplicando a fórmula: x2 = 3.1425 - 0.00109-0.9999994 approx 3.1425 + 0.00109 = 3.1436

Passo 5

  1. Terceira iteração ( n=2):
    • f(x2) = sin(3.1436) approx -0.0001
    • f'(x2) = cos(3.1436) approx -0.99999999
    • Aplicando a fórmula: x3 = 3.1436 - -0.0001-0.99999999 approx 3.1436 - 0.0001 = 3.14159

Passo 6

Após algumas iterações, percebemos que os valores de xn estão se aproximando cada vez mais de pi. Continuando esse processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que 10^-7, chegamos a uma aproximação muito próxima de pi.

Resposta

Usando o Método de Newton com x0 = 3 e precisão de 10^-7, obtemos pi approx 3.1415926535.

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