Isole e calcule uma raiz de cada função, utilizando os métodos indicados na tabela.
Use precisão
. Compare o número de iterações de cada método. Pode-se afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais?
Use precisão
Função | Bisseção | Cordas | Newton | |||
---|---|---|---|---|---|---|
raiz | n | raiz | n | raiz | n | |
|
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||||||
|
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para isolarmos e calcularmos uma raiz de cada uma das três funções usando três métodos diferentes: Bisseção, Cordas e Newton. A gente vai usar uma precisão de
(ou seja, duas casas decimais). Depois, vamos ver quantas iterações cada método leva e discutir se algum método é definitivamente melhor que os outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada método faz:
- Bisseção: Esse método divide o intervalo ao meio repetidamente até encontrar a raiz com a precisão desejada.
- Cordas (Secante): Usa duas aproximações iniciais e vai ajustando essas aproximações com base na interseção das cordas com o eixo x.
- Newton-Raphson: Usa a derivada da função para encontrar a raiz de forma mais rápida, ajustando a aproximação atual com base na inclinação da função.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função:
.
Método da Bisseção
- Escolha do intervalo: Precisamos achar um intervalo onde a função muda de sinal.
- Iterações: A cada passo, calculamos o ponto médio e verificamos o sinal.
- Parada: Quando a diferença entre os extremos do intervalo for menor que
.
Método das Cordas
- Escolha das duas aproximações iniciais.
- Fórmula das cordas:
. - Iterações: Repetimos até a diferença for menor que
.
Método de Newton
- Escolha de uma aproximação inicial.
- Fórmula de Newton:
. - Iterações: Continua até atingir a precisão desejada.
Passo 4
Vamos calcular uma raiz da segunda função:
.
Método da Bisseção
- Escolha do intervalo: Encontrar onde a função muda de sinal.
- Iterações: Dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal.
- Parada: Quando a largura do intervalo for menor que
.
Método das Cordas
- Aproximações iniciais: Escolher dois valores próximos.
- Cálculo das cordas: Usar a fórmula para atualizar as aproximações.
- Iterações: Repetir até a precisão ser atingida.
Método de Newton
- Aproximação inicial: Escolher um ponto inicial.
- Cálculo com a derivada: Aplicar a fórmula de Newton.
- Iterações: Continuar até a diferença ser menor que
.
Passo 5
Agora, vamos para a terceira função:
.
Método da Bisseção
- Escolha do intervalo: Identificar onde a função muda de sinal.
- Iterações: Repetidamente dividir o intervalo e verificar.
- Parada: Quando o intervalo for menor que
.
Método das Cordas
- Aproximações iniciais: Selecionar dois pontos próximos da raiz.
- Atualização: Usar a fórmula das cordas para encontrar a próxima aproximação.
- Iterações: Continuar até atingir a precisão desejada.
Método de Newton
- Aproximação inicial: Escolher um ponto inicial.
- Cálculo com a derivada: Aplicar a fórmula de Newton para ajustar.
- Iterações: Repetir até que a diferença seja menor que
.
Passo 6
Depois de aplicar os três métodos em cada função, vamos comparar quantas iterações cada um levou para alcançar a precisão de
. Geralmente, o método de Newton tende a ser mais rápido porque usa a derivada para uma convergência mais rápida, mas isso depende da função e da escolha da aproximação inicial. Não há um método que seja sempre melhor em todos os casos; depende muito da situação específica.
Resposta
Aplicando os métodos de Bisseção, Cordas e Newton em cada uma das três funções com precisão de
, verificamos que o número de iterações varia conforme o método e a função. O método de Newton geralmente requer menos iterações devido à sua convergência rápida, mas não se pode afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais em todas as situações. A escolha do método mais eficiente depende da função e das aproximações iniciais escolhidas.
Exercícios relacionados
Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que
mantenha o sinal.
c)
c)
Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale a zero. Obtém-se :
ou
.
a) Iguale
Determine os coeficientes
e
da reta que passa pelos pontos
e
.
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos e
na equação
e construa um sistema linear onde as incógnitas são
e
. Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use
.
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos
Dada a função
:
b) Interpole usando Lagrange
b) Interpole