Isole e calcule uma raiz de cada função, utilizando os métodos indicados na tabela.
Use precisão . Compare o número de iterações de cada método. Pode-se afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais?
Função Bisseção Cordas Newton
raiz n raiz n raiz n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para isolarmos e calcularmos uma raiz de cada uma das três funções usando três métodos diferentes: Bisseção, Cordas e Newton. A gente vai usar uma precisão de (ou seja, duas casas decimais). Depois, vamos ver quantas iterações cada método leva e discutir se algum método é definitivamente melhor que os outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada método faz:
  • Bisseção: Esse método divide o intervalo ao meio repetidamente até encontrar a raiz com a precisão desejada.
  • Cordas (Secante): Usa duas aproximações iniciais e vai ajustando essas aproximações com base na interseção das cordas com o eixo x.
  • Newton-Raphson: Usa a derivada da função para encontrar a raiz de forma mais rápida, ajustando a aproximação atual com base na inclinação da função.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função: .

Método da Bisseção

  1. Escolha do intervalo: Precisamos achar um intervalo onde a função muda de sinal.
  2. Iterações: A cada passo, calculamos o ponto médio e verificamos o sinal.
  3. Parada: Quando a diferença entre os extremos do intervalo for menor que .

Método das Cordas

  1. Escolha das duas aproximações iniciais.
  2. Fórmula das cordas: .
  3. Iterações: Repetimos até a diferença for menor que .

Método de Newton

  1. Escolha de uma aproximação inicial.
  2. Fórmula de Newton: .
  3. Iterações: Continua até atingir a precisão desejada.

Passo 4

Vamos calcular uma raiz da segunda função: .

Método da Bisseção

  1. Escolha do intervalo: Encontrar onde a função muda de sinal.
  2. Iterações: Dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal.
  3. Parada: Quando a largura do intervalo for menor que .

Método das Cordas

  1. Aproximações iniciais: Escolher dois valores próximos.
  2. Cálculo das cordas: Usar a fórmula para atualizar as aproximações.
  3. Iterações: Repetir até a precisão ser atingida.

Método de Newton

  1. Aproximação inicial: Escolher um ponto inicial.
  2. Cálculo com a derivada: Aplicar a fórmula de Newton.
  3. Iterações: Continuar até a diferença ser menor que .

Passo 5

Agora, vamos para a terceira função: .

Método da Bisseção

  1. Escolha do intervalo: Identificar onde a função muda de sinal.
  2. Iterações: Repetidamente dividir o intervalo e verificar.
  3. Parada: Quando o intervalo for menor que .

Método das Cordas

  1. Aproximações iniciais: Selecionar dois pontos próximos da raiz.
  2. Atualização: Usar a fórmula das cordas para encontrar a próxima aproximação.
  3. Iterações: Continuar até atingir a precisão desejada.

Método de Newton

  1. Aproximação inicial: Escolher um ponto inicial.
  2. Cálculo com a derivada: Aplicar a fórmula de Newton para ajustar.
  3. Iterações: Repetir até que a diferença seja menor que .

Passo 6

Depois de aplicar os três métodos em cada função, vamos comparar quantas iterações cada um levou para alcançar a precisão de . Geralmente, o método de Newton tende a ser mais rápido porque usa a derivada para uma convergência mais rápida, mas isso depende da função e da escolha da aproximação inicial. Não há um método que seja sempre melhor em todos os casos; depende muito da situação específica.

Resposta

Aplicando os métodos de Bisseção, Cordas e Newton em cada uma das três funções com precisão de , verificamos que o número de iterações varia conforme o método e a função. O método de Newton geralmente requer menos iterações devido à sua convergência rápida, mas não se pode afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais em todas as situações. A escolha do método mais eficiente depende da função e das aproximações iniciais escolhidas.

Exercícios relacionados

Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que mantenha o sinal.
c)
Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale a zero. Obtém-se : ou .
Determine os coeficientes e da reta que passa pelos pontos e .
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos e na equação e construa um sistema linear onde as incógnitas são e . Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use .
Dada a função :
b) Interpole usando Lagrange